プログラム1歩ずつ前進

∫∫∫Vdxdydz V:x>=0,y>=0,z>=0,√x+√y+√z<=1の解き方

\(\iiint_Vdxdydz\ V:x\ge 0,\ y\ge 0,\ z\ge 0,\ \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le1\) の解き方が検索しても出てこなかったので記事にしました。

\(\iiint_Vdxdydz\ V:x\ge 0,\ y\ge 0,\ z\ge 0,\ \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le1\)を解くのに必要な道具

  1. 変数変換
  2. 空間極座標

変数変換

$$(x,y,z)=\Phi(u,v)=(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))$$

によって、uvw空間の体積確定な有界閉集合Uからxyz空間の体積確定な有界閉集合Vへ1:1対応が与えられ、ΦはU上でC1級かつΦのヤコビアンがU上で0でないとする。このときU上の連続関数f(x,y,z)に対して

$$\iiint_V f(x,y,z)dxdydz$$

$$=\iiint_U f(x(u,v,w),y (u,v,w) ,z (u,v,w) )|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}|dudvdw$$

が成り立つ。

空間極座標

空間の点(x,y,z)を次のようなr,θ,φによって表すとき、(r,θ,φ)を空間極座標といいます。

x=rsinθcosφ
y=rsinθsinθ
z=rcosθ (r>=0, 0<=θ<=π, 0<=φ<=2π)

空間極座標によって(r,θ,φ)空間の集合Uに(x,y,z)空間のVが対応し、f(x,y,z)がV上で定義されているとき、次の式が成り立ちます。

$$\iiint_V f(x,y,z)dx\ dy\ dz$$

$$=\iiint_U f(r\ sin\theta\ cos\varphi,\ r\ sin\theta\ sin \varphi,\ t \ cos\theta)r^2 sin\theta\ dr\ d\theta\ d\varphi$$

\(\iiint_Vdxdydz\ V:x\ge 0,\ y\ge 0,\ z\ge 0,\ \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le1\)の解法

変数変換

\(\sqrt{x}=u^2,\sqrt{y}=v^2,\sqrt{z}=w^2\)とすると\(x=u^4,y=v^4,z=w^4\)

$$\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}$$

$$=\left|
\begin{array}{ccc}
4u^3 & 0 &0 \\
0 & 4v^3 & 0 \\
0 & 0 & 4w^3
\end{array}
\right|$$

$$=64u^3v^3w^3$$

空間極座標

\(u=r\ sin\theta\ cos\varphi,\ v=\ r\ sin\theta\ sin\varphi,\ w=r\ cos\theta\ (0\le r \le 1,\ 0\le\theta\le \frac{\pi}{2},\ 0\le \varphi \le \frac{\pi}{2})\)とすると

$$64u^3v^3w^3$$

$$=r^3\ sin^3\theta\ cos^3 \varphi\ r^3\ sin^3\theta\ sin^3 \varphi\ r^3\ cos^3\theta$$

$$=r^9\ sin^6\theta\ cos^3\theta\ sin^3 \varphi \ cos^3 \varphi$$

\(\iiint_Vdxdydz\ V:x\ge 0,\ y\ge 0,\ z\ge 0,\ \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le1\)の解法

$$\iiint_Vdxdydz \ V:x\ge 0,\ y\ge 0,\ z\ge 0,\ \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le1$$

$$=64\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^3 \varphi\ cos^3 \varphi \ d \varphi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^7\theta\ cos^3\theta\ d\theta\int_{0}^{1}r^{11} dr$$

$$=64\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^3 \varphi\ cos^3 \varphi \ d \varphi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^7\theta\ cos^3\theta\ d\theta\left[\frac{r^{12}}{12}\right]^1_0$$

$$=\frac{16}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^3 \varphi\ cos^3 \varphi \ d \varphi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin\theta(1-cos^2\theta)^3\ cos^3\ d\theta$$

置換積分

\(cos\theta=t\)とおくと\(\frac{dt}{d\theta}=-sin\theta,\ dt=-sin\theta\ d\theta\)

\(\theta=0\)のとき\(t=1,\ \theta=\frac{\pi}{2}\)のとき\(t=0\)

$$\frac{16}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^3 \varphi\ cos^3 \varphi \ d \varphi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin\theta(1-cos^2\theta)^3\ cos^3\ d\theta$$

$$=\frac{16}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^3 \varphi\ cos^3 \varphi \ d \varphi \int_{0}^{1}(1-t^2)^3t^3dt$$

$$=\frac{16}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^3 \varphi\ cos^3 \varphi \ d \varphi \int_{0}^{1}(t^3-3t^5+3t^7-t^9)dt$$

$$=\frac{2}{15}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^3 \varphi\ cos^3 \varphi \ d \varphi$$

$$=\frac{2}{15}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin\varphi(1-cos^2 \varphi )\ cos^3 \varphi \ d \varphi$$

置換積分

\(cos \varphi =s\)とおくと\(\frac{ds}{d \varphi }=-sin \varphi ,\ ds=-sin \varphi \ d \varphi \)

\( \varphi =0\)のとき\(s=1,\ \varphi =\frac{\pi}{2}\)のとき\(s=0\)

$$\frac{2}{15}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin\varphi(1-cos^2 \varphi )\ cos^3 \varphi \ d \varphi$$

$$=\frac{2}{15}\int_{0}^{1}(1-s^2)s^3ds$$

$$=\frac{2}{15}\int_{0}^{1}(s^3-s^5)ds$$

$$=\frac{2}{15}\left[\frac{s^4}{4}-\frac{s^6}{6}\right]^1_0$$

$$=\frac{1}{90}$$

参考文献