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$f''(z)+f(z)=0$を解くのに必要な道具 三角関数のマクローリン展開 三角関数のマクローリン展開 $$cos\ z=1-\frac{1}{2!}z^2+\frac{1}{4!}z^4-\cdots+(-1)^n\frac{1}{(2n)!}z^{2n}+\cdots$$ $$sin\ z=z-\frac{1}{3!}z^3+\frac{1}{5!}z^5-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{(2n-1)!}z^{2n-1}+\cdots$$ $f''(z)+f(z)=0$の解法 級数を$y=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n z^n$とすると$y'=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty nc_n z^{n-1},\ y''=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty n(n-1)c_n z^{n-2}$ 与式より $$2\cdot1c_2+3\cdot2c_3z+4\cdot3c_4z^2+5\cdot4c_5z^3+6\cdot5c_6z^4+\cdots$$ $$=-c_0-c_1z-c_2z^2-c_3z^3-c_4z^4+\cdots$$ より $2\cdot1c_2=-c_0,\ c_2=-\frac{1}{2!}c_0$$4\cdot3c_4=-c_2,\ c_4=\frac{1}{4\cdot3}c_2=\frac{1}{4!}c_0$$c_{2m}=\frac{(-1)^m}{(2m)!}c_0$ $3\cdot2c_3=-c_1,\ c_3=-\frac{1}{3!}c_1$$5\cdot4c_5=-c_3,\ c_5=\frac{1}{5\cdot4}c_3=\frac{1}{5!}c_1$$c_{2m+1}=\frac{(-1)^m}{(2m+1)!}c_1$ $f''(z)+f(z)=0$の一般解 $$y=c_0\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m}{(2m)!}z^{2m}+c_1\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m}{(2m+1)!}z^{2m+1}=c_0\ cos\ z+c_1\ sin\ z$$ 参考文献 リンク

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f”(z)+f(z)=0の解き方