「重積分」の記事一覧

$\iiint_Vdxdydz\ V:|x|+|y|+|z|<=1$ の解き方が検索しても出てこなかったので記事にしました。 $\iiint_Vdxdydz\ V:|x|+|y|+|z|<=1$を解くのに必要な道具 絶対値記号のはずし方 絶対値記号のはずし方 (1) 中身が正のとき そのまま外す。 |x| = x (2) 中身が負のとき 中身に「−(マイナス)」をつけて外す。 |x| = −x $\iiint_Vdxdydz\ V:|x|+|y|+|z|<=1$の解法 $\iiint_Vdxdydz\ V:x+y+z<=1$の解法 |x|,|y|,|z|の中身が全て正の場合 Vを満たす任意の座標(x,y,z)についてVの取り得る範囲は$0\le z\le 1-x-y$ zの積分範囲は[0→1-x-y] 上端の境界は x+y+z=1→ z=1-x-y 下端の境界は z=0 yの積分範囲は[0→1-x] z=0のxy平面で 上端の境界は 0=1-x-y → y=1-x 下端の境界は y=0 xの積分範囲は[0→1] 上端の境界は 0=1-x → x=1 下端の境界は x=0 $$\iiint_Vdxdydz\ V:x+y+z<=1$$ $$=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1-x}dy\int_{0}^{1-x-y}(x+y+z)dz$$ $$=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1-x}dy\left[(x+y)z+\frac{z^2}{2}\right]^{z=1-x-y}_{z=0}$$ $$=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1-x}\left((x+y)(1-x-y)+\frac{(1-x-y)^2}{2}\right)dy$$ $$=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1-x}\left(\frac{(1-x-y)(2x+2y+1-x-y)}{2}\right)dy$$ $$=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1-x}\left(\frac{(1-x-y)(x+y+1)}{2}\right)dy$$ $$=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1-x}\frac{x+y+1-x^2-xy-x-xy-y^2-y}{2}dy$$ $$=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1-x}\frac{1-x^2-2xy-y^2}{2}dy$$ $$=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1-x}( 1-x^2-2xy-y^2 )dy$$ $$= \frac{1}{2} \int_{0}^{1}dx\left[(1-x^2)y-xy^2-\frac{y^3}{3}\right]^{y=1-x}_{y=0}$$ $$= \frac{1}{2} \int_{0}^{1}\left((1-x)(1+x)(1-x)-x(1-x)^2-\frac{(1-x)^3}{3}\right)dx$$ $$= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{(1-x)^2}{3}(3(1+x)-3x-(1-x))dx$$ $$= \frac{1}{6} \int_{0}^{1} (1-x)^2(2+x)dx$$ 置換積分 1-x=tとおくと、$x=1-t,\ \frac{dx}{dt}=-1,\ dx=-dt$ x=0のときt=1、x=1のときt=0なので $$\frac{1}{6} \int_{0}^{1} (1-x)^2(2+x)dx= \frac{1}{6} \int_{1}^{0} t^2(3-t)(-dt)= \frac{1}{6} \int_{0}^{1} (3t^2-t^3)dt= \frac{1}{6} \left[t^3-\frac{t^4}{4}\right]^{1}_{0}= \frac{1}{6 }\times\frac{3}{4}=\frac{1}{8}$$ 絶対値を外すときの組み合わせは8通り |x|の外し方(2通り)× |y|の外し方(2通り) × |z|の外し方(2通り) =8通り xz平面およびyzに関してに対称な積分領域 $\iiint_Vdxdydz\ V:|x|+|y|+|z|<=1$の解法 x,y,zについての対称性から $$\iiint_Vdxdydz\ V:|x|+|y|+|z|<=1$$ $$=8\iiint_Vdxdydz\ V:x+y+z<=1$$ $$=8 \times \frac{1}{8}=1$$ 参考文献 リンク

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∫∫∫Vdxdydz V:x^2+y^2+z^2<=a^2, x^2+y^2<=b^2, (a>b>0)の解き方

∫∫∫v sin(x+y+z)dxdydz V:0<=y<=x<=π/2,0<=z<=x+y

∫∫∫Vdxdydz V:|x|+|y|+|z|<=1の解き方