「境界条件」の記事一覧

$x=0で等温境界条件u(0,t)=0をみたし、x=1で断熱境界条件u_x(1,t)=0$をみたす解 $x=0で等温境界条件u(0,t)=0$をみたし$x=1で断熱境界条件u_x(1,t)=0$をみたす解を求めるのに必要な道具 熱伝導を表す偏微分方程式重ね合わせの原理 熱伝導を表す偏微分方程式 $u(x,t)=X(x)T(t)とおきu_t=\alpha^2u_{xx}$にあてはめると $$X(x)T'(t)=\alpha^2X''(x)T(t),\ \frac{T'(t)}{\alpha^2T(t)}=\frac{X"(x)}{X(x)}$$ 物理的な制約（熱の出入りがない状況）からk<0と仮定する。 $\frac{T'(t)}{\alpha^2T(t)}=\frac{X"(x)}{X(x)}=kとおくとT'(t)-k\alpha^2T(t)=0,\ X"(x)-kX(x)=0が得られる。$ $k=-\lambda^2とすればT'(t)+\lambda^2\alpha^2T(t)=0,\ X"(x)+\lambda^2X(x)=0$ 一般解 $$T(t)=A_1e^{-\lambda^2\alpha^2t}$$ $$X(x)=B_1\ sin\lambda x+B_2\ cos\lambda x=0$$ $u(x,t)=T(t)X(x)であるから、A=A_1B_1,\ B=A_1B_2$と取り直せば $$u(x,t)=A_1e^{-\lambda^2\alpha^2t}(B_1sin\lambda x+B_2cos\lambda x)=e^{-\lambda^2\alpha^2t}(Asin\lambda x+Bcos\lambda x)$$ 重ね合わせの原理 線形同次微分方程式では$x_1,x_2が解ならば、その1次結合c_1x_1+c_2x_2$も解となる。 証明 $Lはxに関数L[x]を対応させる写像 L[x]=0$ $x_1,\ x_2が同次微分方程式の解であるからL[x_1]=0,\ L[x_2]=0 よってL[c_1x_1+c_2x_2]=c_1L[x_1]+c_2L[x_2]=0$ $x=0で等温境界条件u(0,t)=0$をみたし$x=1で断熱境界条件u_x(1,t)=0$をみたす解 $u(0,t)=u_x(1,t)=0$をみたす解 等温境界条件 $$u(0,t)=e^{-\lambda^2\alpha^2t}(Asin0+Bcos0)=e^{-\lambda^2\alpha^2t}B=0,\ B=0$$ 断熱境界条件 $u(x,t)=e^{-\lambda^2\alpha^2t}Asin\lambda xをxで偏微分するとu_x(x,t)=e^{-\lambda^2\alpha^2t}A\lambda\ cos\ \lambda x$ $$u_x(1,t)=e^{-\lambda^2\alpha^2t}A\lambda\ cos\ \lambda=0,\ A=0の場合は自明解,\ cos\lambda=0,\ \lambda=\frac{\pi}{2}+n\pi=\frac{\pi+2n\pi}{2}=\frac{(2n+1)\pi}{2}$$ これらの解を重ね合わせて$u(0,t)=u_x(1,t)=0$をみたす解は $$u(x,t)=\sum_{n=0}^\infty A_n \exp\left(-\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}\right)^2\alpha^2t\right)sin\left(\frac{(2n+1)\pi x}{2}\right)$$ 参考文献 リンク

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ux(0,t)=u(1,t)=0をみたす解

u(0,t)=ux(1,t)=0をみたす解