「オイラーの微分方程式」の記事一覧

$4xy''+2y'+y=0$はオイラーの微分方程式の変数変換を使うと解けたので記事にしました。 $4xy''+2y'+y=0$を解くのに必要な道具 オイラーの微分方程式 オイラーの微分方程式 $$t^2\frac{d^2x}{dt^2}+pt\frac{dx}{dt}+qx=0$$ $t=e^s,\ s=log\ t,\ \frac{ds}{dt}=\frac{1}{t}$と変数変換すると $$\frac{d^2x}{ds^2}+(p-1)\frac{dx}{ds}+qx=0$$ の形になる。 $4xy''+2y'+y=0$の解法 $\sqrt{x}=t$とおくと$x=t^2,\ \frac{dx}{dt}=2t,\ \frac{dt}{dx}=\frac{1}{2t}$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dt}{dx}=\frac{y'}{2t}=\frac{y'}{2\sqrt{x}}$$ $$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{y'}{2t}\right)\frac{dt}{dx}=\frac{2ty''-2y'}{4t^2}\cdot\left(\frac{1}{2t}\right)=\left(\frac{y''}{2t}-\frac{y'}{2t^2}\right)\frac{1}{2t}=\frac{1}{4t^2}\left(y''-\frac{y'}{t}\right)=\frac{1}{4x}\left(y''-\frac{y'}{\sqrt{x}}\right)$$ これを$4xy''+2y'+y=0$に代入 変数変換 $$4x\frac{1}{4x}\left(y''-\frac{y'}{\sqrt{x}}\right)+2\frac{y'}{2\sqrt{x}}+y=0,\ y''-\frac{y'}{\sqrt{x}}+\frac{y'}{\sqrt{x}}+y=0,\ y''+y=0$$ 特性方程式 $y=e^{\lambda t}$とおくと$y'=\lambda e^{\lambda t},\ y''=\lambda^2 e^{\lambda t} $ これを$y''+y=0$に代入 $$\lambda^2 e^{\lambda t}+e^{\lambda t}=0,\ (\lambda^2+1)e^{\lambda t}=0,\ \lambda=\pm\sqrt{-1}=\pm i$$ $4xy''+2y'+y=0$の一般解 $$y=c_0e^{it}+c_1e^{-it}=c_0(cos\ t+isin\ t)+c_1(cos\ t-isin\ t)=(c_0+c_1)cos\ t+(c_0-c_1)sin\ t$$ $$=C_0cos\ t+C_1sin\ t=C_0cos\sqrt{x}+C_1sin\sqrt{x}$$ 参考文献 リンク

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4xy”+2y’+y=0の解き方（オイラーの微分方程式）