「完全微分方程式」の記事一覧

完全微分形の一般解を導出する方法で一般解を求める。 完全微分形の一般解の導出 $$P(x,y)= \frac{ \partial}{ \partial x}U(x,y),\ Q(x,y)= \frac{ \partial}{ \partial y}U(x,y)とする。$$ $$dU(x,y)=\frac{ \partial U(x,y)}{ \partial x}dx+\frac{ \partial U(x,y)}{ \partial y}dy=0,\ U(x,y)=C\cdots①$$ $P(x,\ y)をxで積分する$ $$U(x,y)=\int_{}{}P(x,y)dx+C(y)\cdots②$$ $y$で微分する $$\frac{ \partial}{ \partial y}U(x,y)=\frac{ \partial}{ \partial y}\left(\int_{}{}P(x,y)dx\right)+\frac{ \partial}{ \partial y}C(y)$$ $$\frac{ \partial}{ \partial y}\left(\int_{}{}P(x,y)dx\right)+\frac{ \partial}{ \partial y}C(y)=Q(x,y),\ \frac{ \partial}{ \partial y}C(y)=Q(x,y)-\frac{ \partial}{ \partial y}\left(\int_{}{}P(x,y)dx\right)$$ $y$で積分する $$C(y)=\int_{}{}\left[Q(x,y)-\frac{ \partial}{ \partial y}\left(\int_{}{}P(x,y)dx\right)\right]dy$$ これと①を②に代入 $$\int_{}{}P(x,y)dx+\int_{}{}\left[Q(x,y)-\frac{ \partial}{ \partial y}\left(\int_{}{}P(x,y)dx\right)\right]dy=C$$ $(3x^2y^2+2xy^2+3y^3)dx+(2x^3y+2x^2y+9xy^2)dy=0$ の一般解 $(2x^4y+2x^3y+11x^2y^2+2x^3y^2+9xy^3)dy+(3x^3y^2+2x^2y^2+5xy^3+3x^2y^3+3y^4)dx=0$は完全微分形ではないので積分因子$\frac{1}{x+y}$を掛ければ完全微分方程式 $$(3x^2y^2+2xy^2+3y^3)dx+(2x^3y+2x^2y+9xy^2)dy=0になる。$$ $P(x,y)=3x^2y^2+3y^2+3y^3,\ Q(x,y)=2x^3y+2x^2y+9xy^2$とおくと 完全微分条件 $$ \frac{ \partial P}{ \partial y} =6x^2y+4xy+9y^2,\ \frac{ \partial Q}{ \partial x}= 6x^2y+4xy+9y^2$$ であり$\frac{ \partial P}{ \partial y}= \frac{ \partial Q}{ \partial x}$であるからこの微分方程式は完全形である。 $P(x,\ y)をxで積分する$ $$\int_{}{}P(x,y)dx ＝\int_{}{}(3x^2y^2+2xy^2+3y^3)=x^3y^2+x^2y^2+3xy^3+C(y)\cdots①$$ $y$で微分する $$\frac{ \partial}{ \partial y}\left(x^3y^2+x^2y^2+3xy^3+C(y)\right)=2x^3y+2x^2y+9xy^2+C'(y)$$ $$2x^3y+2x^2y+9xy^2+C'(y)=2x^3y+2x^2y+9xy^2,\ C'(y)=0$$ $y$で積分する $$C(y)=C$$ これを①に代入 $$U(x,y)＝x^3y^2+x^2y^2+3xy^3$$ 参考文献 リンク

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(x^2+3xy+2y^2)dy+(2x^2+3xy+y^2)dx=0の一般解

完全微分形の一般解