初期値問題アーカイブ - 数学リファレンス

$x''-2x'+5x=20cos\ t,\ x(0)=x'(0)=0$の計算が長くなったので記事にしました。 ※数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。 $x''-2x'+5x=20cos\ t,\ x(0)=x'(0)=0$を解くのに必要な道具 特性方程式が虚数解の場合の一般解 特性方程式が虚数解の場合の一般解 $p^2-4q<0$のとき、$a=-\frac{p}{2},\ b=\frac{\sqrt{4q-p^2}}{2}$とおけば、一般解は $$y=e^{ax}(c_1cos\ bx+c_2sin\ bx)$$ $x''-2x'+5x=20cos\ t,\ x(0)=x'(0)=0$の解法 一般解 $$s^2-2s+5=0,\ s=1\pm\sqrt{1-5}=1\pm2i$$ $$x=e^t(c_1cos2t+c_2sin2t)$$ 特殊解 $x=a\ cos\ t+b\ sin\ t$とおくと$x'=-a\ sin\ t+b\ cos\ t, x"=-a\ cos\ t-b\ sin\ t$ $-a\ cos\ t-b\ sin\ t+2a\ sin\ t-2b\ cos\ t+5a\ cos\ t+5b\ sin\ t=20cos\ t$ $(-a-2b+5a-20)cos\ t+(2a-b+5b)sin\ t=0$ $4a-2b-20=0,\ 2a-b-10=0$…①, $2a+4b=0,\ a+2b=0$…② ①×2+②,$ 5a=20, a=4,\ 4+2b=0,\ b=-2$ $x=4cos\ t-2sin\ t$ 初期条件より $$x=4cos\ t-2sin\ t+e^t(c_1cos2t+c_2sin2t)$$ $$x(0)=4+c_1=0,\ c_1=-4$$ $$x'=-4sin\ t-2cos\ t+c_1e^tcos2t-2c_1e^tsin2t+c_2e^tsin2t+2c_2e^tcos2t$$ $$x'(0)=-2+c_1+2c_2=-2-4+2c_2=-6+2c_2=0,\ 2c_2=6,\ c_2=3$$ $$x=e^t(-4cos2t+3sin2t)+4cos\ t-2sin\ t$$ 参考文献 リンク 独学で大学数学の微分方程式を勉強しています！ https://jikuu.site/differential-equation/

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x”-2x’+5x=20cost, x(0)=x'(0)=0の解き方