「部分積分」の記事一覧

非斉次方程式の特殊解の計算が面倒だったので記事にしました。 $x=-e^{2t}\int_{}{}3t^2e^{-2t}dt+te^{2t}\int_{}{}3te^{-2t}dt$を解くのに必要な道具 部分積分 部分積分 $$\int_{}{}f(x)g(x)dx=f(x)G(x)-\int_{}{}f'(x)G(x)dx$$ $x=-e^{2t}\int_{}{}3t^2e^{-2t}dt+te^{2t}\int_{}{}3te^{-2t}dt$の解き方 $$x=-e^{2t}\int_{}{}3t^2e^{-2t}dt+te^{2t}\int_{}{}3te^{-2t}dt$$ $$=-e^{2t}\left(-\frac{3}{2}t^2 e^{-2t}+3\int_{}{}t e^{-2t}dt\right)+te^{2t}\left(-\frac{3}{2}te^{-2t}+\frac{3}{2}\int_{}{}e^{-2t}dt\right)$$ $$=-e^{2t}\left(-\frac{3}{2}t^2 e^{-2t}+3\left(-\frac{1}{2}te^{-2t}+\frac{1}{2}\int_{}{}e^{-2t}dt\right) \right)+te^{2t}\left(-\frac{3}{2}te^{-2t}-\frac{3}{4}e^{-2t}\right)$$ $$=-e^{2t}\left(-\frac{3}{2}t^2 e^{-2t}+3\left(-\frac{1}{2}te^{-2t}-\frac{1}{4}e^{-2t}\right) \right)+te^{2t}\left(-\frac{3}{2}te^{-2t}-\frac{3}{4}e^{-2t}\right)$$ $$=-e^{2t}\left(-\frac{3}{2}t^2 e^{-2t}-\frac{3}{2}te^{-2t}-\frac{3}{4}e^{-2t} \right)-\frac{3}{2}t^2-\frac{3}{4}t$$ $$=\frac{3}{2}t^2+\frac{3}{2}t+\frac{3}{4}-\frac{3}{2}t^2-\frac{3}{4}t=\frac{3}{4}t+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}(t+1)$$ 参考文献 リンク

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x=-e^2t∫3t^2e^(-2t)dt+te^2t∫3te^(-2t)dtの解き方