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$\frac{1}{sin\ x}dx$から$\frac{1}{t}dt$への変形が複雑だったので記事にしました。 $\frac{1}{sin\ x}dx$から$\frac{1}{t}dt$への変形に必要な道具 倍角の公式半角の公式 倍角の公式 $$cos2\theta =2cos^2 \theta -1$$ 半角の公式 $$tan^2\frac{ \theta }{2}=\frac{1-cos \theta }{1+cos \theta }$$ $\frac{1}{sin\ x}dx$から$\frac{1}{t}dt$への変形 $tan\frac{x}{2}=t$とおくと $$t^2=tan^2\frac{x}{2},\ t^2=\frac{1-cos\ x}{1+cos\ x},\ t^2+t^2cos\ x=1-cos\ x,\ (1+t^2)cos\ x=1-t^2$$ $$cos\ x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\ cos^2x=\frac{t^4-2t^2+1}{t^4+2t^2+1}$$ $$sin^2x=\frac{t^4+2t^2+1}{t^4+2t^2+1}- \frac{t^4-2t^2+1}{t^4+2t^2+1}=\frac{4t^2}{t^4+2t^2+1},\ sin\ x=\frac{2t}{1+t^2}$$ $tan\frac{x}{2}$の微分 $$\frac{dt}{dx}=\frac{1}{2cos^2\frac{x}{2}},\ \frac{dx}{dt}=2cos^2\frac{x}{2} $$ 倍角の公式 $$cos(2 \cdot \frac{x}{2})=2cos^2\frac{x}{2}-1,\ cos\ x=2cos^2\frac{x}{2}-1,\ cos\ x+1=2cos^2\frac{x}{2}$$ $tan\frac{x}{2}$の微分と倍角の公式を比較 $$ \frac{dx}{dt}= cos\ x+1,\ \frac{dx}{dt}=\frac{1-t^2}{1+t^2}+1 ,\ \frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2},\ dx= \frac{2}{1+t^2}dt$$ $\frac{1}{sin\ x}dx$から$\frac{1}{t}dt$への変形 $$\frac{1}{sin\ x}dx=\frac{1+t^2}{2t}dx=\frac{1+t^2}{2t}\frac{2}{1+t^2}dt=\frac{1}{t}dt$$ 参考文献 リンク

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1/sinxdxから1/tdtへの変形