独学 で大学数学の 微分方程式 を勉強しています!

2021年9月22日

独学 で大学数学の 微分方程式 を勉強 したいと思ったことありませんか?

実は、僕も大学数学の 微分方程式 を 独学 で学びたいと思い勉強を始めました。

結果、放送大学の数学のテキスト をほぼ読み終えました。

目次

大学数学の微分方程式

放送大学の数学のテキスト の練習問題の解答は理解できるほどには詳細に書かれていないので自分で出した解答を載せています。

URLが放送大学の数学のテキストの該当ページを指しています。

トラクトリックス

1/sinxdxから1/tdtへの変形

(1/sinx)dxから(1/t)dtへの変形 に必要な道具

  1. 倍角の公式
  2. 半角の公式

\(\frac{1}{sin\ x}dx\)から\(\frac{1}{t}dt\)への変形が複雑だったので記事にしました。

(1/sinx)dxから(1/t)dtへの変形 トラクトリックス
(1/sinx)dxから(1/t)dtへの変形 に必要な道具 倍角の公式半角の公式 \(\frac{1}{sin\ x}dx\)から\(\frac{1}{t}d…
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1階非斉次線形微分方程式

1階非斉次線形微分方程式の一般解

1階非斉次線形微分方程式の一般解の導出 を使うと一般解が容易に解けます。

1階非斉次線形微分方程式の一般解
1階非斉次線形微分方程式の一般解 の導出 を使うと1階非斉次線形微分方程式の一般解が容易に解けます。 ※数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピ…
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変数分離形

y’=(1+y)/sinxの解き方 変数分離形

y’=(1+y)/sinx の計算過程が複雑なので記事にしました。

計算の方針:1/sinxの積分が複雑なので最初に計算します。

\(y’=\frac{1+y}{sin\ x}\) の計算過程が複雑なので記事にしました。

y'=(1+y)/sinx の解き方 変数分離形
y’=(1+y)/sinx の計算過程が複雑なので記事にしました。 変数分離形 計算の方針:1/sinxの積分が複雑なので最初に計算します。 \(y'=\fra…
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同次形

y’=(x^2-y^2)/2xyの解き方 同次形

\(y’=\frac{x^2+y^2}{2xy}\)は検索にかかってくるが \(y’=\frac{x^2-y^2}{2xy}\) は検索しても出てこなかったので記事にしました。

同次形 y’=(x^2-y^2)/2xy を解くのに必要な道具:対数関数の置換積分

y'=(x^2-y^2)/2xy の解き方 同次形
同次形 y’=(x^2-y^2)/2xy を解くのに必要な道具:対数関数の置換積分 \(y'=\frac{x^2+y^2}{2xy}\)は検索にかかってくるが …
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y’=2y/x-yの解き方 同次形

\(y’=\frac{2y}{x-y}\)の解き方、記事にしました。

y’=2y/x-y を解くのに必要な道具:同次形微分方程式の解法

y'=2y/x-y の解き方 同次形
同次形 y’=2y/x-y を解くのに必要な道具:同次形微分方程式の解法 \(y'=\frac{2y}{x-y}\)の解き方を記事にしました。 ※数式がスマホで…
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包絡線

dy/dx-(3/2)(y-a)^(1/3)=0 の一般解と、それらの解曲線の包絡線である特異解

dy/dx-(3/2)(y-a)^(1/3)=0 の一般解と、それらの解曲線の包絡線である特異解を求めよ」という問題である。

「\(\frac{dy}{dx}-\frac{3}{2}\sqrt[3]{y-a}=0\) の一般解と、それらの解曲線の包絡線である特異解を求めよ」という問題である。

dy/dx-(3/2)(y-a)^(1/3)=0 の一般解とそれらの解曲線の包絡線である特異解
「 dy/dx-(3/2)(y-a)^(1/3)=0 の一般解と、それらの解曲線の包絡線である特異解を求めよ」という問題である。 「\(\frac{dy}{dx…
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部分積分

x=-e^2t∫3t^2e^(-2t)dt+te^2t∫3te^(-2t)dtの解き方 部分積分

非斉次方程式の特殊解の計算が面倒だったので記事にしました。

x=-e^(2t)∫3t^2e^(-2t)dt+te^(2t)∫3te^(-2t)dt を解くのに必要な道具:部分積分

x=-e^2t∫3t^2e^(-2t)dt+te^2t∫3te^(-2t)dt の解き方 部分積分
x=-e^2t∫3t^2e^(-2t)dt+te^2t∫3te^(-2t)dt を解くのに必要な道具 部分積分 非斉次方程式の特殊解の計算が面倒だったので記事に…
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定数変化法

特殊解を求めるのに 定数変化法 より クラメルの公式

定数係数非斉次線形方程式

$$x”+px’+qx=r(t)$$

の特殊解は

$$x(t)=-x_1(t)\int_{}{}\frac{x_2(t)r(t)}{W(x_1,\ x_2)(t)}dt+x_2(t)\int_{}{}\frac{x_1(t)r(t)}{W(x_1,\ x_2)(t)}dt$$

である。

定数係数非斉次2階線形方程式の特殊解を求めるのに 定数変化法 があるが クラメルの公式 が使われている方が式を覚えるのが楽でした。

特殊解 を求めるのに 定数変化法 より クラメルの公式
定数係数非斉次2階線形方程式の 特殊解 を求めるのに 定数変化法 があるが クラメルの公式 が使われている方が式を覚えるのが楽でした。 定数変化法 定数係数非斉…
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未定係数法

x”-x’=sint+2costの一般解(未定係数法)

x”-x’=sint+2cost の一般解を未定係数法で解いたら計算が楽でした。

x”-x’=sint+2cost を解くのに必要な道具:未定係数法

x"-x'=sint+2cost の一般解(未定係数法)
x”-x’=sint+2cost を解くのに必要な道具:未定係数法 x"-x'=sint+2cost の一般解を未定係数法で解いたら計算が楽でした。 ※数式がス…
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初期値問題

x”-2x’+5x=20cost, x(0)=x'(0)=0の解き方 初期値問題

初期値問題 x”-2x’+5x=20cost, x(0)=x'(0)=0 の計算が長くなったので記事にしました。

x”-2x’+5x=20cost, x(0)=x'(0)=0 を解くのに必要な道具:特性方程式が虚数解の場合の一般解

x''-2x'+5x=20cost, x(0)=x'(0)=0 の解き方 初期値問題
初期値問題 x''-2x'+5x=20cost, x(0)=x'(0)=0 を解くのに必要な道具:特性方程式が虚数解の場合の一般解 x''-2x'+5x=20c…
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階数低下法

(t+2)x”-(2t+6)x’+(t+4)x=0 (x=e^t)の一般解 階数低下法

階数低下法 (t-2)x”-(2t-6)x’+(t-4)x=0 (x=e^t)も同じ手順で解法出来ます。

(t+2)x”-(2t+6)x’+(t+4)x=0 (x=e^t) を解くのに必要な道具:階数低下法

(t+2)x"-(2t+6)x'+(t+4)x=0 (x=e^t)の一般解 階数低下法
階数低下法 (t+2)x”-(2t+6)x’+(t+4)x=0 (x=e^t) を解くのに必要な道具:階数低下法 (t-2)x"-(2t-6)x'+(t-4)x…
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(t^2+3t+4)x”+(t^2+t+1)x’-(2t+3)x=0 (x=e^(-t))の一般解 階数低下法

\((t^2+3t+4)x”+(t^2+t+1)x’-(2t+3)x=0\ (x=e^{-t})\) の解くのに苦労したので備忘録として記事にしました。

(t^2+3t+4)x”+(t^2+t+1)x’-(2t+3)x=0 (x=e^(-t))の解くのに必要な道具:階数低下法

(t^2+3t+4)x"+(t^2+t+1)x'-(2t+3)x=0 の一般解 階数低下法
(t^2+3t+4)x”+(t^2+t+1)x’-(2t+3)x=0 (x=e^(-t)) の解くのに必要な道具: 階数低下法 \((t^2+3t+4)x''+…
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連立微分方程式

3つの関数の積の積分

3つの関数の積の積分3つの関数の積の導関数の公式の逆演算で解けるのではないかと思い試してみました。

3つの関数の積の積分
3つの関数の積の積分 が3つの関数の積の導関数の公式の逆演算で解けるのではないかと思い試してみました。 ※数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするか…
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オイラーの微分方程式

4xy”+2y’+y=0の解き方(オイラーの微分方程式)

4xy”+2y’+y=0 はオイラーの微分方程式の変数変換を使うと解けたので記事にしました。

4xy”+2y’+y=0 を解くのに必要な道具

オイラーの微分方程式:\( t^2\frac{d^2x}{dt^2}+pt\frac{dx}{dt}+qx=0\)

4xy''+2y'+y=0 オイラーの微分方程式
4xy''+2y'+y=0 はオイラーの微分方程式の変数変換を使うと解けたので記事にしました。 4xy''+2y'+y=0 を解くのに必要な道具 オイラーの微分…
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フロベニウスの方法

4xy”+2y’+y=0の解き方(フロベニウスの方法)

4xy”+2y’+y=0 を フロベニウスの方法 で解くのに苦労したので記事にしました。

4xy”+2y’+y=0 を解くのに必要な道具

  1. フロベニウスの方法
  2. 三角関数のマクローリン展開
4xy''+2y'+y=0 フロベニウスの方法
4xy''+2y'+y=0 を解くのに必要な道具 フロベニウスの方法三角関数のマクローリン展開 4xy''+2y'+y=0 を フロベニウスの方法 で解くのに苦…
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x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0の解き方(フロベニウスの方法)

\(x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0\)を フロベニウスの方法 で解くのに苦労したので記事にしました。

x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0 を解くのに必要な道具

  1. フロベニウスの方法
  2. 三角関数のマクローリン展開
x^2y''-2xy'+(x^2+2)y=0 の解き方 フロベニウスの方法
x^2y''-2xy'+(x^2+2)y=0 を解くのに必要な道具 フロベニウスの方法三角関数のマクローリン展開 \(x^2y''-2xy'+(x^2+2)y=…
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級数解法

級数解法・フロベニウスの方法 使い分け

線形微分方程式の 級数解法フロベニウスの方法、どちらを使うべきか混乱していたので整理しておきます。

級数解法 ・ フロベニウスの方法 使い分け
線形微分方程式の 級数解法 と フロベニウスの方法 、どちらを使うべきか( 使い分け )混乱していたので整理しておきます。 ※数式がスマホで画面からはみ出る場合…
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境界条件

x=0 で 等温境界条件 u(0,t)=uをみたし、 x=1 で 断熱境界条件 ux(1,t)=0をみたす解

x=0 で 等温境界条件 u(0,t)=uをみたし、 x=1 で 断熱境界条件 ux(1,t)=0をみたす解 を求めるのに必要な道具

  1. 熱伝導を表す偏微分方程式
  2. 重ね合わせの原理
x=0 で 等温境界条件 u(0,t)=u、 x=1 で 断熱境界条件 ux(1,t)=0をみたす解
x=0 で 等温境界条件 u(0,t)=uをみたし、 x=1 で 断熱境界条件 ux(1,t)=0をみたす解 を求めるのに必要な道具 熱伝導を表す偏微分方程式重…
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x=0 で 断熱境界条件 ux(0,t)=uをみたし、 x=1 で 等温境界条件 u(1,t)=0 をみたす解

x=0 で 断熱境界条件 ux(0,t)=uをみたし、 x=1 で 等温境界条件 u(1,t)=0 をみたす解 を求めるのに必要な道具

  1. 熱伝導を表す偏微分方程式
  2. 重ね合わせの原理

\(x=0\)で断熱境界条件\(u_x(0,t)=0\)をみたし、\(x=1\)で等温境界条件\(u(1,t)=0\)をみたす解

x=0 で 断熱境界条件 ux(0,t)=u、 x=1 で 等温境界条件 u(1,t)=0 をみたす解
\(x=0で断熱境界条件u_x(0,t)=0をみたし、x=1で等温境界条件u(1,t)=0\)をみたす解\(x=0で断熱境界条件u_x(0,t)=0\)をみたし…
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調和多項式

4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7をr^nsinnθ,r^ncosnθの1次結合として表す。

4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7 を r^nsinnθ,r^ncosnθ の1次結合 として表す問題

\(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7\)が調和多項式であることを確かめ、それを極座標に変換して、\(r^n sin\ n \theta, r^n cos\ n \theta\)の1次結合として表す問題。

4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7 を r^nsinnθ, r^ncosnθ の 1次結合
4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7 を r^nsinnθ,r^ncosnθ の 1次結合 として表す問題 \(4x^7y-28x^5y^…
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ラプラシアン

4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7の最大値・最小値

4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7 を単位円の境界である単位円周x^2+y^2=1で考えたとき、大値と最小値 を求める問題

\(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7\)を単位円の境界である単位円周\(x^2+y^2=1\)で考えたとき、最大値と最小値を求める問題

4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7 の 最大値 最小値 ラプラシアン
4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7 を単位円の境界である単位円周x^2+y^2=1で考えたとき 最大値 最小値 を求める問題 \(4x^…
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積分因子

独学で大学数学の積分因子を勉強しています!

独学で大学数学の 積分因子 を勉強しています。
\(P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\)が完全微分条件をみたしていない場合\(\frac{\partial \lambda P}{\partial y}=…
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完全微分方程式

完全微分形の一般解

完全微分形の一般解を導出する方法で一般解を求める。

完全微分形の一般解
完全微分形の一般解を導出する方法 で 完全微分形の一般解 を求める。 ※数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。 完全微分…
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(x^2+3xy+2y^2)dy+(2x^2+3xy+y^2)dx=0の一般解

\((x^2+3xy+2y^2)dy+(2x^2+3xy+y^2)dx=0\)を完全微分形の一般解を導出する方法で求める。

(x^2+3xy+2y^2)dy+(2x^2+3xy+y^2)dx=0 の一般解 完全微分形
(x^2+3xy+2y^2)dy+(2x^2+3xy+y^2)dx=0 を完全微分形の一般解を導出する方法で求める。 \((x^2+3xy+2y^2)dy+(2…
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検索しても計算過程が見つからない場合

検索しても計算過程が見つからない場合ココナラ を利用してみてはいかがでしょうか。

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スタディサプリ進路 社会人向け の 使い方

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独学で大学数学を勉強する順番

独学 で 大学数学 を勉強する 順番
独学 で 大学数学 を学ぶ場合、 順番 に迷いますよね。 独学で放送大学の数学のテキストをほぼ読み終えた経験から 順番 を示したいと思います。 独学で大学数学を…
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