独学で大学数学の微分方程式を勉強しています!

独学で大学の数学を勉強したいと思ったことありませんか?

実は、僕も大学の数学を独学で学びたいと思い勉強を始めました。

結果、放送大学の数学のテキストをほぼ読み終えました。

目次

大学数学の微分方程式

放送大学の数学のテキストの練習問題の解答は理解できるほどには詳細に書かれていないので自分で出した解答を載せています。

URLが放送大学の数学のテキストの該当ページを指しています。

トラクトリックス

1/sinxdxから1/tdtへの変形

\(\frac{1}{sin\ x}dx\)から\(\frac{1}{t}dt\)への変形が複雑だったので記事にしました。

1階非斉次線形微分方程式

1階非斉次線形微分方程式の一般解

1階非斉次線形微分方程式の一般解の導出を使うと一般解が容易に解けます。

変数分離形

y’=(1+y)/sinxの解き方

\(y’=\frac{1+y}{sin\ x}\)の計算過程が複雑なので記事にしました。

同次形

y’=(x^2-y^2)/2xyの解き方

\(y’=\frac{x^2+y^2}{2xy}\)は検索にかかってくるが \(y’=\frac{x^2-y^2}{2xy}\)は検索しても出てこなかったので記事にしました。

y’=2y/x-yの解き方

\(y’=\frac{2y}{x-y}\)の解き方、記事にしました。

包絡線

dy/dx-3/2(y-a)^(1/3)=0の一般解と特異解

「\(\frac{dy}{dx}-\frac{3}{2}\sqrt[3]{y-a}=0\) の一般解と、それらの解曲線の包絡線である特異解を求めよ」という問題である。

部分積分

x=-e^2t∫3t^2e^(-2t)dt+te^2t∫3te^(-2t)dtの解き方

非斉次方程式の特殊解の計算が面倒だったので記事にしました。

定数変化法

独学で大学数学の定数変化法を勉強しています!

定数係数非斉次線形方程式

$$x”+px’+qx=r(t)$$

の特殊解は

$$x(t)=-x_1(t)\int_{}{}\frac{x_2(t)r(t)}{W(x_1,\ x_2)(t)}dt+x_2(t)\int_{}{}\frac{x_1(t)r(t)}{W(x_1,\ x_2)(t)}dt$$

である。

未定係数法

x”-x’=sint+2costの一般解(未定係数法)

\(x”-x’=sin\ t+2cos\ t\)の一般解を未定係数法で解いたら計算が楽でした。

初期値問題

x”-2x’+5x=20cost, x(0)=x'(0)=0の解き方

\(x”-2x’+5x=20cos\ t,\ x(0)=x'(0)=0\)の計算が長くなったので記事にしました。

階数低下法

(t+2)x”-(2t+6)x’+(t+4)x=0 (x=e^t)の一般解

\((t-2)x”-(2t-6)x’+(t-4)x=0\ (x=e^t)\)も同じ手順で解法出来ます。

(t^2+3t+4)x”+(t^2+t+1)x’-(2t+3)x=0 (x=e^(-t))の一般解

\((t^2+3t+4)x”+(t^2+t+1)x’-(2t+3)x=0\ (x=e^{-t})\)の解くのに苦労したので備忘録として記事にしました。

連立微分方程式

3つの関数の積の積分

3つの関数の積の積分3つの関数の積の導関数の公式の逆演算で解けるのではないかと思い試してみました。

オイラーの微分方程式

4xy”+2y’+y=0の解き方(オイラーの微分方程式)

\(4xy”+2y’+y=0\)はオイラーの微分方程式の変数変換を使うと解けたので記事にしました。

フロベニウスの方法

4xy”+2y’+y=0の解き方(フロベニウスの方法)

\(4xy”+2y’+y=0\)をフロベニウスの方法で解くのに苦労したので記事にしました。

x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0の解き方(フロベニウスの方法)

\(x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0\)をフロベニウスの方法で解くのに苦労したので記事にしました。

級数解法

級数解法・フロベニウスの方法 使い分け

線形微分方程式の級数解法フロベニウスの方法、どちらを使うべきか混乱していたので整理しておきます。

境界条件

u(0,t)=ux(1,t)=0をみたす解

\(x=0で等温境界条件u(0,t)=0をみたし、x=1で断熱境界条件u_x(1,t)=0\)をみたす解

ux(0,t)=u(1,t)=0をみたす解

\(x=0で断熱境界条件u_x(0,t)=0をみたし、x=1で等温境界条件u(1,t)=0\)をみたす解

調和多項式

4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7をr^nsinnθ,r^ncosnθの1次結合として表す。

\(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7\)が調和多項式であることを確かめ、それを極座標に変換して、\(r^n sin\ n \theta, r^n cos\ n \theta\)の1次結合として表す問題。

ラプラシアン

4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7の最大値・最小値

\(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7\)を単位円の境界である単位円周\(x^2+y^2=1\)で考えたとき、最大値と最小値を求める問題

積分因子

独学で大学数学の積分因子を勉強しています!

完全微分方程式

完全微分形の一般解

完全微分形の一般解を導出する方法で一般解を求める。

(x^2+3xy+2y^2)dy+(2x^2+3xy+y^2)dx=0の一般解

\((x^2+3xy+2y^2)dy+(2x^2+3xy+y^2)dx=0\)を完全微分形の一般解を導出する方法で求める。

独学で大学数学を勉強する順番