プログラム1歩ずつ前進

∫(x-3/x^2+1)dxの解き方

\(\int_{}{}{\frac{x-3}{x^2+1}}dx\) の解き方が検索しても出てこなかったので記事にしました。

\(\int_{}{}{\frac{x-3}{x^2+1}}dx\) を解くのに必要な道具

  1. 対数関数の置換積分
  2. アークタンジェントの積分公式

対数関数の置換積分

$$\int_{}{}{\frac{ \varphi ^{\prime} (x)}{ \varphi (x)}}dx= log| \varphi (x) |$$

証明

$$(log\int_{}{}{(x)}) ^{\prime} = \frac{1}{ \int_{}{}{(x)}}・\int_ {}{ ^{\prime} } {(x)} =\frac{ \int_ {}{ ^{\prime} } {(x)} }{ \int_{}{}{(x)} } $$

対数微分の公式から導けます。

アークタンジェントの積分公式

$$\int_{}{}{\frac{1}{a^2+x^2}}dx=\frac{1}{a} \tan^{-1} (\frac{x}{a})$$

証明

$$(\tan^{-1}(\frac{x}{a} ) ) ^{\prime}=\frac{1}{a}\frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2}=\frac{a}{a^2+x^2}$$

アークタンジェントの微分公式から導けました。

\(\int_{}{}{\frac{x-3}{x^2+1}}dx\) の解法

$$\int_{}{}{\frac{x-3}{x^2+1}}dx$$

$$=\frac{1}{2} \int_{}{}{\frac{2x}{x^2+1}}dx – 3\int_{}{}{\frac{1}{x^2+1}}dx $$

$$=\frac{1}{2} \int_{}{}{\frac{ (x^2+1) ^{\prime} }{(x^2+1) }}dx – 3\int_{}{}{\frac{1}{x^2+1}}dx $$

$$\frac{1}{2}log(x^2+1)-3tan^{-1}x$$

解法が分かれば容易に解ける問題ですが最初は\((x^2+1)=t\)と置いたり試行錯誤しました。

参考文献