独学で大学数学の 積分因子 を勉強しています。

2021年10月6日

このλ(x,y)を 積分因子 という。

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0が完全微分条件をみたしていない場合

\(\frac{\partial \lambda P}{\partial y}=\frac{\partial \lambda Q}{\partial x}\)を満たすようにλ(x,y)P(x,y)dx+λ(x,y) Q(x,y)dy=0と書きなおす。

(2x^4y+2x^3y+11x^2y^2+2x^3y^2+9xy^3)dy+(3x^3y^2+2x^2y^2+5xy^3+3x^2y^3+3y^4)dx=0の解き方

\((2x^4y+2x^3y+11x^2y^2+2x^3y^2+9xy^3)dy+(3x^3y^2+2x^2y^2+5xy^3+3x^2y^3+3y^4)dx=0\)は完全微分形ではない ので積分因子\(\frac{1}{x+y}\)を掛ければ完全微分方程式

$$(3x^2y^2+2xy^2+3y^3)dx+(2x^3y+2x^2y+9xy^2)dy=0$$

になる。

(2x^4y+2x^3y+11x^2y^2+2x^3y^2+9xy^3)dy+(3x^3y^2+2x^2y^2+5xy^3+
(2x^4y+2x^3y+11x^2y^2+2x^3y^2+9xy^3)dy+(3x^3y^2+2x^2y^2+5xy^3+3x^2y^3+3y^4)dx=0 …
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(x^2+3xy+2y^2)dy+(2x^2+3xy+y^2)dx=0の解き方

\((x^2+3xy+2y^2)dy+(2x^2+3xy+y^2)dx=0\) は完全微分形ではない ので積分因子\(\frac{1}{x+y}\)を掛けれ完全微分方程式

$$(2x+y)dx+(x+2y)dy=0$$

になる。

(x^2+3xy+2y^2)dy+(2x^2+3xy+y^2)dx=0 を解くのに必要な道具 :完全微分形の一般解

(x^2+3xy+2y^2)dy+(2x^2+3xy+y^2)dx=0 の解き方
(x^2+3xy+2y^2)dy+(2x^2+3xy+y^2)dx=0 を解くのに必要な道具 :完全微分形の一般解 \((x^2+3xy+2y^2)dy+(2x…
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積分因子 の求め方

\(P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\)が完全微分条件をみたしていない場合

\(\frac{\partial \lambda P}{\partial y}=\frac{\partial \lambda Q}{\partial x}を満たすように\lambda(x,y)P(x,y)dx+\lambda(x,y) Q(x,y)dy=0\)と書きなおす。

この\(\lambda(x,y)\)を 積分因子 という。

積分因子の求め方
積分因子の求め方 ※数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。 言葉の定義 全微分方程式完全微分条件積分因子 全微分方程式 …
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(-xy sinx siny+x^2y)dy+(xy cosx cosy+xy^2)dx=0の 積分因子

\(P=xy\ cos\ x\ cos\ y+xy^2,\ Q=-xy\ sin\ x\ sin\ y+x^2yとすると\frac{\partial P}{\partial y}\neq\frac{\partial Q}{\partial x}\)であるから、完全微分方程式ではない。

(-xy sinx siny+x^2y)dy+(xy cosx cosy+xy^2)dx=0の 積分因子
(-xy sinx siny+x^2y)dy+(xy cosx cosy+xy^2)dx=0の 積分因子 ※数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールする…
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