プログラム・数学リファレンス

x”-x’=sint+2costの一般解

\(x”-x’=sin\ t+2cos\ t\)の一般解の計算が複雑なので記事にしました。

\(x”-x’=sin\ t+2cos\ t\) を解くのに必要な道具

  1. 部分積分
  2. ロンスキアンが含まれる公式

部分積分

$$\int_{}{}f(x)g(x)dx=f(x)G(x)-\int_{}{}f'(x)G(x)dx$$

ロンスキアンが含まれる公式

$$x(t)=-x_1(t)\int_{}{}\frac{x_2(t)r(t)}{W(x_1,\ x_2)(t)}dt+x_2(t)\int_{}{}\frac{x_1(t)r(t)}{W(x_1,\ x_2)(t)}dt$$

\(x”-x’=sin\ t+2cos\ t\) の一般解

基本解

$$s^2-s=0,\ s(1-s)=0,\ x_1=1,\ x_2=e^t$$

ロンスキアン

$$W(1,\ e^t)=e^t$$

特殊解

$$x=-\int_{}{}\frac{e^t(sin\ t+2cos\ t)}{e^t}dt+e^t\int_{}{}\frac{sin\ t+2cos\ t}{e^t}dt$$

$$=-\int_{}{}(sin\ t+2cos\ t)dt+e^t\int_{}{}e^{-t}(sin\ t+2cos\ t)dt$$

\(\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt\)の積分

$$\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt=-e^{-t}cos\ t-\int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt,\ \int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt=e^{-t}sin\ t+\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt $$

$$\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt=-e^{-t}cos\ t-(e^{-t}sin\ t+\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt)$$

$$2\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt=-e^{-t}cos\ t-e^{-t}sin\ t$$

$$\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt=-\frac{1}{2}e^{-t}(sin\ t+cos\ t)$$

\(2\int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt\)の積分

$$2\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt =-2e^{-t}cos\ t-2\int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt,\ 2\int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt=2e^{-t}sin\ t-2e^{-t}cos\ t-2\int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt$$

$$2\int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt =2e^{-t}sin\ t-2e^{-t}cos\ t-2\int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt$$

$$4\int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt=2e^{-t}(sint\ t-cos\ t)$$

$$2\int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt=e^{-t}(sint\ t-cos\ t)$$

特殊解続き

$$=-(-cos\ t+2sin\ t)+e^t(-\frac{1}{2}e^{-t}(sin\ t+cos\ t)+e^{-t}(sin\ t-cos\ t))$$

$$=cos\ t-2sin\ t-\frac{1}{2}sin\ t-\frac{1}{2}cos\ t+sin\ t-cos\ t$$

$$=-sin\ t-\frac{1}{2}sin\ t-\frac{1}{2}cos\ t$$

$$=-\frac{3}{2}sin\ t-\frac{1}{2}cos\ t$$

一般解

$$x=c_1+c_2e^{t}-\frac{1}{2}cos\ t-\frac{3}{2}sin\ t$$

参考文献