数学リファレンス

x”-x’=sint+2costの一般解(クラメルの公式)

定数係数非斉次2階線形方程式の特殊解を求めるのに定数変化法があるがクラメルの公式が使われている思った方が式を覚えるのが楽でした。

\(x”-x’=sin\ t+2cos\ t\) を解くのに必要な道具

  1. 部分積分
  2. 定数変化法
  3. クラメルの公式

部分積分

$$\int_{}{}f(x)g(x)dx=f(x)G(x)-\int_{}{}f'(x)G(x)dx$$

定数変化法

$$x(t)=-x_1(t)\int_{}{}\frac{x_2(t)r(t)}{W(x_1,\ x_2)(t)}dt+x_2(t)\int_{}{}\frac{x_1(t)r(t)}{W(x_1,\ x_2)(t)}dt$$

クラメルの公式

連立方程式

$$\left\{ \begin{array}{r} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2 \end{array} \right.$$

を行列を用いて表すと

$$\left( \begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \end{array} \right)$$

の解は

$$x_1=\frac{\left| \begin{array}{cc} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{array} \right|}{\left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|},\ x_2=\frac{\left| \begin{array}{cc} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2\end{array} \right|}{\left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|}$$

\(x”-x’=sin\ t+2cos\ t\) の一般解

\(x”-x’=sin\ t+2cos\ t\) の基本解

\(x=e^{\alpha t}とおくと\alpha^2-\alpha=0,\ \alpha(\alpha-1)=0,\ x_1=1,\ x_2=e^t\)

\(x”-x’=sin\ t+2cos\ t\) の特殊解

クラメルの公式

$$u’_1=\frac{\left| \begin{array}{cc} 0 & e^t \\ sin\ t+2cos\ t & e^t \end{array} \right|}{\left|\begin{array}{cc} 1 & e^t \\ 0 & e^t \end{array} \right|}=\frac{e^tsin\ t+2e^tcos\ t}{e^t}=sin\ t-2cos\ t$$

$$u’_2=\frac{\left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & sin\ t+2cos\ t \end{array} \right|}{e^t}=\frac{sin\ t+2cos\ t}{e^t}=e^{-t}sin\ t+2e^{-t}cos\ t$$

積分する

$$u_1=-\int_{}{}sin\ tdt-2\int_{}{}cos\ tdt=cos\ t-2sin\ t$$

$$u_2=\int{}{}e^{-t}sin\ tdt+2\int_{}{}e^{-t}cos\ tdt$$

\(\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt\)の積分

$$\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt=-e^{-t}cos\ t-\int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt,\ \int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt=e^{-t}sin\ t+\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt $$

$$\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt=-e^{-t}cos\ t-(e^{-t}sin\ t+\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt)$$

$$2\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt=-e^{-t}cos\ t-e^{-t}sin\ t$$

$$\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt=-\frac{1}{2}e^{-t}(sin\ t+cos\ t)$$

\(2\int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt\)の積分

$$\int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt =e^{-t}sin\ t-e^{-t}cos\ t-\int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt$$

$$2\int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt=e^{-t}(sint\ t-cos\ t)$$

\(u_2\)の積分続き

$$u_2=-\frac{1}{2}e^{-t}(sin\ t+cos\ t)+e^{-t}(sin\ t-cos\ t)$$

\(x”-x’=sin\ t+2cos\ t\) の特殊解

$$x=cos\ t-2sin\ t-\frac{1}{2}sin\ t-\frac{1}{2}cos\ t+sin\ t-cos\ t=-\frac{3}{2}sin\ t-\frac{1}{2}cos\ t$$

\(x”-x’=sin\ t+2cos\ t\) の一般解

$$x=c_1+c_2e^{t}-\frac{1}{2}cos\ t-\frac{3}{2}sin\ t$$

参考文献