プログラム・数学リファレンス

x”-x’=sint+2costの一般解(未定係数法)

\(x”-x’=sin\ t+2cos\ t\)の一般解を未定係数法で解いたら計算が楽でした。

\(x”-x’=sin\ t+2cos\ t\) を解くのに必要な道具

未定係数法

未定係数法

非斉次項の形から特殊解を類推する方法

\(x”-x’=sin\ t+2cos\ t\) の一般解

基本解

$$s^2-s=0,\ s(1-s)=0,\ x_1=1,\ x_2=e^t$$

特殊解

\(x=a\ cos\ t+b\ sin\ t\)とおくと、\(x’=-a\ sin\ t+b\ cos\ t,\ x”=-a\ cos\ t-b\ sin\ t-a\ cos\ t-b\ sin\ t-a\ sin\ t+b\ cos\ t=sin\ t+2cos\ t\)

\((-a+b-2)cos\ t+(-b-a-1)sin\ t=0\)

\(-a+b-2=0\)…①, \(-a–b-1=0\)…②, ①+②\(=2a-1=0,\ 2a=1,\ a=\frac{1}{2}\)

\(a=\frac{1}{2}\) を①に代入、\(-\frac{1}{2}+b-2=0,\ b=-\frac{3}{2}\)

$$x=-\frac{1}{2}cos\ t-\frac{3}{2}sin\ t$$

一般解

$$x=c_1+c_2e^t-\frac{1}{2}cos\ t-\frac{3}{2}sin\ t$$

参考文献