\(x”-x’=sin\ t+2cos\ t\)の一般解を未定係数法で解いたら計算が楽でした。
目次
\(x”-x’=sin\ t+2cos\ t\) を解くのに必要な道具
未定係数法
未定係数法
非斉次項の形から特殊解を類推する方法
\(x”-x’=sin\ t+2cos\ t\) の一般解
基本解
$$s^2-s=0,\ s(1-s)=0,\ x_1=1,\ x_2=e^t$$
特殊解
\(x=a\ cos\ t+b\ sin\ t\)とおくと、\(x’=-a\ sin\ t+b\ cos\ t,\ x”=-a\ cos\ t-b\ sin\ t-a\ cos\ t-b\ sin\ t-a\ sin\ t+b\ cos\ t=sin\ t+2cos\ t\)
\((-a+b-2)cos\ t+(-b-a-1)sin\ t=0\)
\(-a+b-2=0\)…①, \(-a–b-1=0\)…②, ①+②\(=2a-1=0,\ 2a=1,\ a=\frac{1}{2}\)
\(a=\frac{1}{2}\) を①に代入、\(-\frac{1}{2}+b-2=0,\ b=-\frac{3}{2}\)
$$x=-\frac{1}{2}cos\ t-\frac{3}{2}sin\ t$$
一般解
$$x=c_1+c_2e^t-\frac{1}{2}cos\ t-\frac{3}{2}sin\ t$$
参考文献
リンク