x"-x'=sint+2costの一般解（未定係数法）

$x”-x’=sin\ t+2cos\ t$の一般解を未定係数法で解いたら計算が楽でした。

※数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。

$x”-x’=sin\ t+2cos\ t$ を解くのに必要な道具

未定係数法

非斉次項の形から特殊解を類推する方法

$$s^2-s=0,\ s(1-s)=0,\ x_1=1,\ x_2=e^t$$

$x=a\ cos\ t+b\ sin\ t$とおくと、$x’=-a\ sin\ t+b\ cos\ t,\ x”=-a\ cos\ t-b\ sin\ t-a\ cos\ t-b\ sin\ t-a\ sin\ t+b\ cos\ t=sin\ t+2cos\ t$

$(-a+b-2)cos\ t+(-b-a-1)sin\ t=0$

$-a+b-2=0$…①, $-a–b-1=0$…②, ①+②$=2a-1=0,\ 2a=1,\ a=\frac{1}{2}$

$a=\frac{1}{2}$ を①に代入、$-\frac{1}{2}+b-2=0,\ b=-\frac{3}{2}$

$$x=-\frac{1}{2}cos\ t-\frac{3}{2}sin\ t$$

$$x=c_1+c_2e^t-\frac{1}{2}cos\ t-\frac{3}{2}sin\ t$$

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