x”-x’=sint+2cost の一般解(未定係数法)

2020年3月4日

x”-x’=sint+2cost を解くのに必要な道具:未定係数法

x”-x’=sint+2cost の一般解を未定係数法で解いたら計算が楽でした。

数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。

x”-x’=sint+2cost を解くのに必要な道具

未定係数法

未定係数法

非斉次項の形から特殊解を類推する方法

x”-x’=sint+2cost の一般解

基本解

$$s^2-s=0,\ s(1-s)=0,\ x_1=1,\ x_2=e^t$$

特殊解

x=acost+bsintとおくと、x’=-asint+bcost, x”=-acost-bsint-acost-bsint-asint+bcost=sint+2cost

(-a+b-2)cost+(-b-a-1)sint=0

-a+b-2=0…①, -a-b-1=0…②, ①+②=2a-1=0, 2a=1, \(a=\frac{1}{2}\)

\(a=\frac{1}{2}\) を①に代入、\(-\frac{1}{2}+b-2=0,\ b=-\frac{3}{2}\)

$$x=-\frac{1}{2}cos\ t-\frac{3}{2}sin\ t$$

一般解

$$x=c_1+c_2e^t-\frac{1}{2}cos\ t-\frac{3}{2}sin\ t$$

参考文献

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