プログラム・数学リファレンス

x”-2x’+5x=20cost, x(0)=x'(0)=0の解き方

\(x”-2x’+5x=20cos\ t,\ x(0)=x'(0)=0\)の計算が長くなったので記事にしました。

\(x”-2x’+5x=20cos\ t,\ x(0)=x'(0)=0\)を解くのに必要な道具

特性方程式が虚数解の場合の一般解

特性方程式が虚数解の場合の一般解

\(p^2-4q<0\)のとき、\(a=-\frac{p}{2},\ b=\frac{\sqrt{4q-p^2}}{2}\)とおけば、一般解は

$$y=e^{ax}(c_1cos\ bx+c_2sin\ bx)$$

\(x”-2x’+5x=20cos\ t,\ x(0)=x'(0)=0\)の解法

一般解

$$s^2-2s+5=0,\ s=1\pm\sqrt{1-5}=1\pm2i$$

$$x=e^t(c_1cos2t+c_2sin2t)$$

特殊解

\(x=a\ cos\ t+b\ sin\ t\)とおくと\(x’=-a\ sin\ t+b\ cos\ t, x”=-a\ cos\ t-b\ sin\ t\)

\(-a\ cos\ t-b\ sin\ t+2a\ sin\ t-2b\ cos\ t+5a\ cos\ t+5b\ sin\ t=20cos\ t\)

\((-a-2b+5a-20)cos\ t+(2a-b+5b)sin\ t=0\)

\(4a-2b-20=0,\ 2a-b-10=0\)…①, \(2a+4b=0,\ a+2b=0\)…②

①×2-②,\( 5a=20, a=4,\ 4+2b=0,\ b=-2\)

\(x=4cos\ t-2sin\ t\)

初期条件より

$$x=4cos\ t-2sin\ t+e^t(c_1cos2t+c_2sin2t)$$

$$x(0)=4+c_1=0,\ c_1=-4$$

$$x’=-4sin\ t-2cos\ t+c_1e^tcos2t-2c_1e^tsin2t+c_2e^tsin2t+2c_2e^tcos2t$$

$$x'(0)=-2+c_1+2c_2=-2-4+2c_2=-6+2c_2=0,\ 2c_2=6,\ c_2=3$$

$$x=e^t(-4cos2t+3sin2t)+4cos\ t-2sin\ t$$

参考文献