x”-2x’+5x=20cost, x(0)=x'(0)=0 の解き方 初期値問題

2020年1月6日

初期値問題 x”-2x’+5x=20cost, x(0)=x'(0)=0 を解くのに必要な道具:特性方程式が虚数解の場合の一般解

x”-2x’+5x=20cost, x(0)=x'(0)=0 の計算が長くなったので記事にしました。

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初期値問題 x”-2x’+5x=20cost, x(0)=x'(0)=0 を解くのに必要な道具

特性方程式が虚数解の場合の一般解

特性方程式が虚数解の場合の一般解

\(p^2-4q<0\)のとき、\(a=-\frac{p}{2},\ b=\frac{\sqrt{4q-p^2}}{2}\)とおけば、一般解は

$$y=e^{ax}(c_1cos\ bx+c_2sin\ bx)$$

x”-2x’+5x=20cost, x(0)=x'(0)=0 の解法

一般解

$$s^2-2s+5=0,\ s=1\pm\sqrt{1-5}=1\pm2i$$

$$x=e^t(c_1cos2t+c_2sin2t)$$

特殊解

x=acost+bsintとおくとx’=-asint+bcost, x”=-acost-bsint

-acost-bsint+2asint-2bcost+5acost+5bsint=20cost

(-a-2b+5a-20)cost+(2a-b+5b)sint=0

4a-2b-20=0, 2a-b-10=0…①, 2a+4b=0, a+2b=0…②

①×2+②, 5a=20, a=4, 4+2b=0, b=-2

x=4cost-2sint

初期条件より

$$x=4cos\ t-2sin\ t+e^t(c_1cos2t+c_2sin2t)$$

$$x(0)=4+c_1=0,\ c_1=-4$$

$$x’=-4sin\ t-2cos\ t+c_1e^tcos2t-2c_1e^tsin2t+c_2e^tsin2t+2c_2e^tcos2t$$

$$x'(0)=-2+c_1+2c_2=-2-4+2c_2=-6+2c_2=0,\ 2c_2=6,\ c_2=3$$

$$x=e^t(-4cos2t+3sin2t)+4cos\ t-2sin\ t$$

参考文献

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