数学リファレンス

x”-x’-6x=5tの一般解(定数変化法)

定数係数非斉次2階線形方程式の特殊解を求めるのに定数変化法があるがクラメルの公式が使われている思った方が式を覚えるのが楽でした。

\(x”-x’-6x=5t\)の特殊解を求めるのに必要な道具

  1. 定数変化法
  2. クラメルの公式

定数変化法

定数係数非斉次線形方程式\(x”+px’+gx=r(t)\)の特殊解

付随する斉次方程式\(x”+px’+gx=0の基本解をx_1,x_2\)とするとき、一般解は定数\(c_1,c_2\)を用いて\(x(t)=c_1x_1(t)+c_2x_2(t)\)と表すことができる。

この係数を定数ではなく\(tの関数としてx(t)=u_1(t)x_1(t)+u_2(t)x_2(t)\) の解を探す。

$$\left\{ \begin{array}{l} x_1(t)u’_1(t)+x_2(t)u’_2(t)=0 \\ x’_1(t)u’_1(t)+x’_2(t)u’_2(t)=r(t) \end{array} \right.$$

を解くと

$$u’_1(t)=-\frac{x_2(t)r(t)}{W[x_1,x_2](t)},\ u’_2(t)=\frac{x_1(t)r(t)}{W[x_1,x_2](t)}$$

\(x”+px’+gx=r(t)\)の特殊解

$$x(t)=-x_1(t)\int_{}{}\frac{x_2(t)r(t)}{W[x_1,x_2](t)}dt+x_2(t)\int_{}{}\frac{x_1(t)r(t)}{W[x_1,x_2](t)}dt$$

クラメルの公式

連立方程式

$$\left\{ \begin{array}{r} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2 \end{array} \right.$$

を行列を用いて表すと

$$\left( \begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \end{array} \right)$$

の解は

$$x_1=\frac{\left| \begin{array}{cc} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{array} \right|}{\left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|},\ x_2=\frac{\left| \begin{array}{cc} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2\end{array} \right|}{\left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|}$$

\(x”-x’-6x=5t\)の一般解

\(x”-x’-6x=0\)の基本解

\(x=e^{\alpha t}とおくと\alpha^2-\alpha-6=0, (\alpha-3)(\alpha+2)=0, x_1=e^{3t},\ x_2=e^{-2t}\)

\(x”-x’-6x=5t\)の特殊解

クラメルの公式

$$u’_1=\frac{\left| \begin{array}{cc} 0 & e^{-2t} \\ 5t& -2e{-2t} \end{array} \right|}{\left|\begin{array}{cc} e^{3t} & e^{-2t} \\ 3e^{3t} & -2e^{-2t} \end{array} \right|}=\frac{-5te^{-2t}}{-2e^t-3e^t}=\frac{-5te^{-2t}}{-5e^t}=te^{-3t}$$

$$u’_2=\frac{\left| \begin{array}{cc} e^{3t} & 0 \\ 3e^{3t} & 5t\end{array} \right|}{-5e^t}=\frac{5te^{3t}}{-5e^t}=-te^{2t}$$

積分する

$$u_1=\int_{}{}te^{-3t}dt=-\frac{t}{3}e^{-3t}+\int_{}{}\frac{1}{3}e^{-3t}dt=-\frac{t}{3}e^{-3t}-\frac{1}{9}e^{-3t}$$

$$u_2=\int_{}{}-te^{2t}dt=-\frac{t}{2}e^{2t}+\int_{}{}\frac{1}{2}e^{2t}dt=-\frac{t}{2}e^{2t}+\frac{1}{4}e^{2t}$$

\(x”-x’-6x=5t\)の特殊解

$$x=e^{3t}\left(-\frac{t}{3}e^{-3t}-\frac{1}{9}e^{-3t}\right)+e^{-2t}\left(-\frac{t}{2}e^{2t}+\frac{1}{4}e^{2t}\right)=-\frac{t}{3}-\frac{1}{9}-\frac{t}{2}+\frac{1}{4}=-\frac{5}{6}t+\frac{5}{36}$$

\(x”-x’-6x=5t\)の一般解

$$x=c_1e^{3t}+c_2e^{-2t}-\frac{5}{6}t+\frac{5}{36}$$

参考文献