x”-x’-6x=5t の一般解(定数変化法)

2020年11月25日

x”-x’-6x=5t の特殊解 を求めるのに必要な道具

定数係数非斉次2階線形方程式の特殊解を求めるのに定数変化法があるが クラメルの公式 が使われている方が式を覚えるのが楽でした。

数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。

x”-x’-6x=5t の特殊解を求めるのに必要な道具

定数変化法

定数係数非斉次線形方程式x”+px’+gx=r(t)の特殊解

付随する斉次方程式x”+px’+gx=0の基本解を\(x_1,x_2\)とするとき、一般解は定数\(c_1,c_2\)を用いて\(x(t)=c_1x_1(t)+c_2x_2(t)\)と表すことができる。

この係数を定数ではなくtの関数として\(x(t)=u_1(t)x_1(t)+u_2(t)x_2(t)\) の解を探す。

$$\left\{ \begin{array}{l} x_1(t)u’_1(t)+x_2(t)u’_2(t)=0 \\ x’_1(t)u’_1(t)+x’_2(t)u’_2(t)=r(t) \end{array} \right.$$

を解くと

$$u’_1(t)=-\frac{x_2(t)r(t)}{W[x_1,x_2](t)},\ u’_2(t)=\frac{x_1(t)r(t)}{W[x_1,x_2](t)}$$

x”+px’+gx=r(t)の特殊解

$$x(t)=-x_1(t)\int_{}{}\frac{x_2(t)r(t)}{W[x_1,x_2](t)}dt+x_2(t)\int_{}{}\frac{x_1(t)r(t)}{W[x_1,x_2](t)}dt$$

クラメルの公式

連立方程式

$$\left\{ \begin{array}{r} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2 \end{array} \right.$$

を行列を用いて表すと

$$\left( \begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \end{array} \right)$$

の解は

$$x_1=\frac{\left| \begin{array}{cc} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{array} \right|}{\left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|},\ x_2=\frac{\left| \begin{array}{cc} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2\end{array} \right|}{\left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|}$$

x”-x’-6x=5t の一般解

x”-x’-6x=5t の基本解

\(x=e^{\alpha t}\)とおくと\(\alpha^2-\alpha-6=0, (\alpha-3)(\alpha+2)=0, x_1=e^{3t},\ x_2=e^{-2t}\)

x”-x’-6x=5tの特殊解

クラメルの公式

$$u’_1=\frac{\left| \begin{array}{cc} 0 & e^{-2t} \\ 5t& -2e{-2t} \end{array} \right|}{\left|\begin{array}{cc} e^{3t} & e^{-2t} \\ 3e^{3t} & -2e^{-2t} \end{array} \right|}=\frac{-5te^{-2t}}{-2e^t-3e^t}=\frac{-5te^{-2t}}{-5e^t}=te^{-3t}$$

$$u’_2=\frac{\left| \begin{array}{cc} e^{3t} & 0 \\ 3e^{3t} & 5t\end{array} \right|}{-5e^t}=\frac{5te^{3t}}{-5e^t}=-te^{2t}$$

積分する

$$u_1=\int_{}{}te^{-3t}dt=-\frac{t}{3}e^{-3t}+\int_{}{}\frac{1}{3}e^{-3t}dt=-\frac{t}{3}e^{-3t}-\frac{1}{9}e^{-3t}$$

$$u_2=\int_{}{}-te^{2t}dt=-\frac{t}{2}e^{2t}+\int_{}{}\frac{1}{2}e^{2t}dt=-\frac{t}{2}e^{2t}+\frac{1}{4}e^{2t}$$

x”-x’-6x=5tの特殊解

$$x=e^{3t}\left(-\frac{t}{3}e^{-3t}-\frac{1}{9}e^{-3t}\right)+e^{-2t}\left(-\frac{t}{2}e^{2t}+\frac{1}{4}e^{2t}\right)=-\frac{t}{3}-\frac{1}{9}-\frac{t}{2}+\frac{1}{4}=-\frac{5}{6}t+\frac{5}{36}$$

x”-x’-6x=5tの一般解

$$x=c_1e^{3t}+c_2e^{-2t}-\frac{5}{6}t+\frac{5}{36}$$

参考文献

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