プログラム・数学リファレンス

(t+2)x”-(2t+6)x’+(t+4)x=0 (x=e^t)の一般解

\((t-2)x”-(2t-6)x’+(t-4)x=0\ (x=e^t)\)も同じ手順で解法出来ます。

\((t+2)x”-(2t+6)x’+(t+4)x=0\ (x=e^t)\) を解くのに必要な道具

階数低下法

階数低下法

\(x_1\)を既知の解であるとし\(x=x_1y\)とおいて解を求める方法。

\((t+2)x”-(2t+6)x’+(t+4)x=0\ (x=e^t)\)の解法

\(x=e^ty\)とおくと

$$x’=e^ty+e^ty’,\ x”=e^ty+2e^ty’+e^ty”$$

これを\((t+2)x”-(2t+6)x’+(t+4)x=0\)に代入

$$(t+2)(e^ty+2e^ty’+e^ty”)-(2t+6)(e^ty+e^ty’)+(t+4)e^ty=0$$

$$te^ty+2e^tty’+e^tty”+2e^ty+4e^ty’+2e^ty”-2te^ty-2te^ty’-6e^ty-6e^ty’+e^tty+4e^ty=0$$

$$(e^tt+2e^t)y”+(2e^tt+4e^t-2e^tt-6e^t)y’+(te^t+2e^t-2e^tt-6e^t+e^tt+4e^t)y=0$$

$$(e^tt+2e^t)y”-2e^ty’ =0$$

z=y’を新しい未知関数と考えると

$$(e^tt+2e^t)z’-2e^tz =0,\ z’+\frac{-2e^t}{e^tt+2e^t}z=0,\ z’+\frac{-2}{t+2}z=0$$

\(z’+\frac{-2}{t+2}z=0\)の解法

$$e^{-\int_{}{}\frac{2}{t+2}dt}z’-\frac{2}{t+2}e^{-\int_{}{}\frac{2}{t+2}dt}z=0,\ \left[e^{-\int_{}{}\frac{2}{t+2}dt}z\right]’=0,\ e^{-\int_{}{}\frac{2}{t+2}dt}z=c_1$$

$$z=e^{\int_{}{}\frac{2}{t+2}dt}c_1=e^{2\int_{}{}\frac{1}{t+2}dt}c_1=e^{2log(t+2)}c_1=e^{log(t+2)^2}c_1=(t+2)^2c_1$$

\((t+2)x”-(2t+6)x’+(t+4)x=0\ (x=e^t)\)の一般解

$$x=x_1y=x_1\int_{}{}zdt=e^t\int_{}{}(t+2)^2c_1dt=e^t\left(\frac{1}{3}(t+2)^3c_1+c_2\right) =e^t(C_1+C_2(t+2)^3)$$

参考文献