プログラム・数学リファレンス

(t^2+3t+4)x”+(t^2+t+1)x’-(2t+3)x=0 (x=e^(-t))の一般解

\((t^2+3t+4)x”+(t^2+t+1)x’-(2t+3)x=0\ (x=e^{-t})\)の解くのに苦労したので備忘録として記事にしました。

\((t^2+3t+4)x”+(t^2+t+1)x’-(2t+3)x=0\ (x=e^{-t})\)の解くのに必要な道具

  1. 階数低下法
  2. (分子の次数)>=(分母の次数)のとき、分子の次数を分母より低くする
  3. 部分積分

階数低下法

\(x_1\)を既知の解であるとし\(x=x_1y\)とおいて解を求める方法。

(分子の次数)>=(分母の次数)のとき、分子の次数を分母より低くする。

分子を分母で割る。

部分積分

$$\int_{}{}f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int_{}{}F(x)g'(x)dx$$

\(x=e^ty\)とおくと

$$x’=-e^{-t}y+e^{-t}y’,\ x”=e^{-t}y+2e^{-t}y’+e^{-t}y”$$

これを\((t^2+3t+4)x”+(t^2+t+1)x’-(2t+3)x=0\)に代入

$$(t^2+3t+4)(e^{-t}y-2e^{-t}y’+e^{-t}y”)+(t^2+t+1)(-e^{-t}y+e^{-t}y’)-(2t+3)e^{-t}y=0$$

$$t^2e^{-t}y-2t^2e^{-t}y’+t^2e^{-t}y”+3te^{-t}y-6te^{-t}y’+3te^{-t}y”+4e^{-t}y’-8e^{-t}y’+4e^{-t}y$$

$$-t^2e^{-t}y+t^2e^{-t}y’-te^{-t}y+te^{-t}y’-e^{-t}y+e^{-t}y’-2te^{-t}y-3e^{-t}y=0$$

$$(t^2e^{-t}+3te^{-t}+4e^{-t})y”+(-2t^2e^{-t}-6te^{-t}-8e^{-t}+t^2e^{-t}+te^{-t}+e^{-t})y’$$

$$+(t^2e^{-t}+3te^{-t}+4e^{-t}-t^2e^{-t}-te^{-t}-e^{-t}-2te^{-t}-3e^{-t})y=0$$

$$(t^2e^{-t}+3te^{-t}+4e^{-t})y”+(-t^2e^{-t}-5te^{-t}-7e^{-t})y’=0$$

z=y’を新しい未知関数と考えると

$$(t^2e^{-t}+3te^{-t}+4e^{-t})z’+(-t^2e^{-t}-5te^{-t}-7e^{-t})z=0$$

\((t^2e^{-t}+3te^{-t}+4e^{-t})z’+(-t^2e^{-t}-5te^{-t}-7e^{-t})z=0\)の解法

$$z’+\frac{-t^2e^{-t}-5te^{-t}-7e^{-t}}{t^2e^{-t}+3te^{-t}+4e^{-t}}z=0,\ z’+\frac{-t^2-5t-7}{t^2+3t+4}z=0$$

$$e^{-\int_{}{} \frac{t^2+5t+7}{t^2+3t+4}dt}z’-\frac{t^2+5t+7}{t^2+3t+4}e^{-\int_{}{} \frac{t^2+5t+7}{t^2+3t+4}dt}z=0,\ \left[ e^{-\int_{}{} \frac{t^2+5t+7}{t^2+3t+4}dt}z\right]’=0,\ e^{-\int_{}{} \frac{t^2+5t+7}{t^2+3t+4}dt}z=c_1$$

$$z=e^{\int_{}{} \frac{t^2+5t+7}{t^2+3t+4}dt}c_1=e^{\int_{}{}\left( 1+\frac{2t+3}{t^2+3t+4}\right)dt}c_1=e^{(t+log(t^2+3t+4))}c_1$$

\((t^2+3t+4)x”+(t^2+t+1)x’-(2t+3)x=0\ (x=e^{-t})\)の一般解

$$x =x_1y=x_1\int_{}{}zdt=e^{-t}\int_{}{}e^{(t+log(t^2+3t+4))}c_1=e^{-t}\int_{}{}e^te^{log(t^2+3t+4)}c_1=e^{-t}\int_{}{}e^t(t^2+3t+4)c_1dt$$

$$=e^{-t}\left(\left (e^t(t^2+3t+4)-\int_{}{}e^t(2t+3) \right )c_1\right )=e^{-t} \left ( \left (e^t(t^2+3t+4)-\left(e^t(2t+3)-\int_{}{}e^t2tdt\right ) \right ) c_1 \right ) $$

$$=e^{-t}((e^t(t^2+3t+4)-e^t(2t+3)+2e^t+c_2 )c_1)=(t^2+3t+4-2t-3+2 + c_2 e^{-t} )c_1$$

$$= C_1 (t^2+t+3)+ C_2 e^{-t}$$

参考文献