プログラム・数学リファレンス

1/sinxdxから1/tdtへの変形

\(\frac{1}{sin\ x}dx\)から\(\frac{1}{t}dt\)への変形が複雑だったので記事にしました。

\(\frac{1}{sin\ x}dx\)から\(\frac{1}{t}dt\)への変形に必要な道具

  1. 倍角の公式
  2. 半角の公式

倍角の公式

$$cos2\theta =2cos^2 \theta -1$$

半角の公式

$$tan^2\frac{ \theta }{2}=\frac{1-cos \theta }{1+cos \theta }$$

\(\frac{1}{sin\ x}dx\)から\(\frac{1}{t}dt\)への変形

\(tan\frac{x}{2}=t\)とおくと

$$t^2=tan^2\frac{\pi}{2},\ t^2=\frac{1-cos\ x}{1+cos\ x},\ t^2+t^2cos\ x=1-cos\ x,\ (1+t^2)cos\ x=1-tan\ t^2$$

$$cos\ x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\ cos^2x=\frac{t^4-2t+1}{t^2+2t+1}$$

$$sin^2x=\frac{t^4+2t^2+1}{t^4+2t^2+1}- \frac{t^4-2t^2+1}{t^4+2t^2+1}=\frac{4t^2}{t^4+2t^2+1},\ sin\ x=\frac{2t}{1+t^2}$$

\(tan\frac{x}{2}\)の微分

$$\frac{dt}{dx}=\frac{1}{2cos^2\frac{x}{2}},\ \frac{dx}{dt}=2cos^2\frac{x}{2} $$

倍角の公式

$$cos(2 \cdot \frac{x}{2})=2cos^2\frac{x}{2}-1,\ cos\ x=2cos^2\frac{x}{2}-1,\ cos\ x+1=2cos^2\frac{x}{2}$$

\(tan\frac{x}{2}\)の微分と倍角の公式を比較

$$ \frac{dx}{dt}= cos\ x+1,\ \frac{dx}{dt}=\frac{1-t^2}{1+t^2}+1 ,\ \frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2},\ dx= \frac{2}{1+t^2}dt$$

\(\frac{1}{sin\ x}dx\)から\(\frac{1}{t}dt\)への変形

$$\frac{1}{sin\ x}dx=\frac{1+t^2}{2t}dx=\frac{1+t^2}{2t}\frac{2}{1+2t^2}dt=\frac{1}{t}dt$$

参考文献