プログラム・数学リファレンス

4xy”+2y’+y=0の解き方(フロベニウスの方法)

\(4xy”+2y’+y=0\)をフロベニウスの方法で解くのに苦労したので記事にしました。

\(4xy”+2y’+y=0\)を解くのに必要な道具

  1. フロベニウスの方法
  2. 三角関数のマクローリン展開

フロベニウスの方法

\(f(x)=x^{\rho}\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n x^n=\sum_{n=0}^\infty c_n x^{\rho+n}\ (c_0\neq0)\)と仮定する。

三角関数のマクローリン展開

$$cos\ x=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\cdots+(-1)^n\frac{1}{(2n)!}x^{2n}+\cdots$$

$$sin\ x=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{(2n-1)!}x^{2n-1}+\cdots$$

\(4xy”+2y’+y=0\)の解法

x=0は確定特異点

級数を\(y=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n x^{n+\rho}\)とおくと\(y’=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+\rho)c_n x^{n+\rho-1},\ y”=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+\rho)(n+\rho-1)c_n x^{n+\rho-2}\)

これを\(4xy”+2y’+y=0\)に代入

$$\sum_{n=0}^\infty 4(n+\rho)(n+\rho-1)c_n x^{n+\rho-1}+\sum_{n=0}^\infty 2(n+\rho)c_n x^{n+\rho-1}+\sum_{n=0}^\infty c_{n-1} x^{n+\rho-1}=0$$

$$\sum_{n=0}^\infty\left( \left(4(n+\rho)(n+\rho-1)c_n+2(n+\rho)\right)c_n +c_{n-1}\right)x^{n+\rho-1}=0$$

決定方程式

$$ \left(4(n+\rho)(n+\rho-1)c_n+2(n+\rho)\right)c_n +c_{n-1}=0$$

$$(n+\rho)(4n+4\rho-4+2)c_n+c_{n-1}=0$$

$$2(n+\rho)(2n+2\rho-1)c_n+c_{n-1}=0\cdots①$$

n=0のとき①より

$$2\rho(2\rho-1)c_0+c_{-1}=0$$

\(c_{-1}=0\)とすれば\(\rho(2\rho-1)c_0=0\), \(c_0\neq0\)より\(\rho=0,\ \frac{1}{2}\)

\(\rho=0\)のとき ①より

$$2n(2n-1)c_n=-c_{n-1},\ c_n=\frac{-c_{n-1}}{2n(2n-1)}$$

  • \(n=1\)のとき \(c_1=-\frac{c_0}{2}\)
  • \(n=2\)のとき \(c_2=\frac{-c_1}{4\cdot 3}=\frac{c_0}{4!}\)
  • \(n=3\)のとき \(c_3=\frac{-c_2}{6\cdot 5}=-\frac{c_0}{6!}\)
  • \(n=4\)のとき \(c_4=\frac{-c_3}{8\cdot 7}=\frac{c_0}{8!}\)

$$y=\sum_{n=0}^\infty c_n x^{n+0}=c_0\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(\sqrt x)^{2n}}{(2n)!}\cdots②$$

\(\rho=\frac{1}{2}\)のとき ①より

$$(2n+1)2n c_n=-c_{n-1},\ c_n=\frac{-c_{n-1}}{(2n+1)2n}$$

  • \(n=1\)のとき \(c_1=-\frac{c_0}{3\cdot 2}=-\frac{c_0}{3!}\)
  • \(n=2\)のとき \(c_2=\frac{-c_1}{5\cdot 4}=\frac{c_0}{5!}\)
  • \(n=3\)のとき \(c_3=\frac{-c_2}{7\cdot 6}=-\frac{c_0}{7!}\)
  • \(n=4\)のとき \(c_4=\frac{-c_3}{9\cdot 8}=\frac{c_0}{9!}\)

$$y=\sum_{n=0}^\infty c_n x^{n+\frac{1}{2}}=c_0\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(\sqrt x)^{2n+1}}{(2n+1)!}\cdots③$$

\(4xy”+2y’+y=0\)の一般解

②と③の\(c_0\)は別物なので

$$y=c_0\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(\sqrt x)^{2n}}{(2n)!}+c_1\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(\sqrt x)^{2n+1}}{(2n+1)!}=c_0cos\sqrt x+c_1sin\sqrt x$$

参考文献