プログラム・数学リファレンス

4xy”+2y’+y=0の解き方(オイラーの微分方程式)

\(4xy”+2y’+y=0\)はオイラーの微分方程式の変数変換を使うと解けたので記事にしました。

\(4xy”+2y’+y=0\)を解くのに必要な道具

  1. オイラーの微分方程式

オイラーの微分方程式

$$t^2\frac{d^2x}{dt^2}+pt\frac{dx}{dt}+qx=0$$

\(t=e^s,\ s=log\ t,\ \frac{ds}{dt}=\frac{1}{t}\)と変数変換すると

$$\frac{d^2x}{ds^2}+(p-1)\frac{dx}{ds}+qx=0$$

の形になる。

\(4xy”+2y’+y=0\)の解法

\(\sqrt{x}=t\)とおくと\(x=t^2,\ \frac{dx}{dt}=2t,\ \frac{dt}{dx}=\frac{1}{2t}\)

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dt}{dx}=\frac{y’}{2t}=\frac{y’}{2\sqrt{x}}$$

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{y’}{2t}\right)\frac{dt}{dx}=\frac{2ty”-2y’}{4t^2}\cdot\left(\frac{1}{2t}\right)=\left(\frac{y”}{2t}-\frac{y’}{2t^2}\right)\frac{1}{2t}=\frac{1}{4t^2}\left(y”-\frac{y’}{t}\right)=\frac{1}{4x}\left(y”-\frac{y’}{\sqrt{x}}\right)$$

これを\(4xy”+2y’+y=0\)に代入

変数変換

$$4x\frac{1}{4x}\left(y”-\frac{y’}{\sqrt{x}}\right)+2\frac{y’}{2\sqrt{x}}+y=0,\ y”-\frac{y’}{\sqrt{x}}+\frac{y’}{\sqrt{x}}+y=0,\ y”+y=0$$

特性方程式

\(y=e^{\lambda t}\)とおくと\(y’=\lambda e^{\lambda t},\ y”=\lambda^2 e^{\lambda t} \)

これを\(y”+y=0\)に代入

$$\lambda^2 e^{\lambda t}+e^{\lambda t}=0,\ (\lambda^2+1)e^{\lambda t}=0,\ \lambda=\pm\sqrt{-1}=\pm i$$

\(4xy”+2y’+y=0\)の一般解

$$y=c_0e^{it}+c_1e^{-it}=c_0(cos\ t+isin\ t)+c_1(cos\ t-isin\ t)=(c_0+c_1)cos\ t+(c_0-c_1)sin\ t$$

$$=C_0cos\ t+C_1sin\ t=C_0cos\sqrt{x}+C_1sin\sqrt{x}$$

参考文献