プログラム・数学リファレンス

x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0の解き方(フロベニウスの方法)

\(x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0\)をフロベニウスの方法で解くのに苦労したので記事にしました。

\(x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0\)を解くのに必要な道具

  1. フロベニウスの方法
  2. 三角関数のマクローリン展開

フロベニウスの方法

\(f(x)=x^{\rho}\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n x^n=\sum_{n=0}^\infty c_n x^{\rho+n}\ (c_0\neq0)\)と仮定する。

三角関数のマクローリン展開

$$cos\ x=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\cdots+(-1)^n\frac{1}{(2n)!}x^{2n}+\cdots$$

$$sin\ x=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{(2n-1)!}x^{2n-1}+\cdots$$

\(x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0\)の解法

x=0は確定特異点

級数を\(y=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n x^{n+\rho}\)とおくと\(y’=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+\rho)c_n x^{n+\rho-1},\ y”=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+\rho)(n+\rho-1)c_n x^{n+\rho-2}\)

これを\(x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0\)に代入

$$\sum_{n=0}^\infty (n+\rho)(n+\rho-1)c_n x^{n+\rho}+\sum_{n=0}^\infty 2(n+\rho)c_n x^{n+\rho}+\sum_{n=0}^\infty c_n x^{n+\rho+2}+\sum_{n=0}^\infty 2c_n x^{n+\rho}=0$$

$$\sum_{n=0}^\infty (n+\rho)(n+\rho-1)c_n x^{n+\rho}+\sum_{n=0}^\infty 2(n+\rho)c_n x^{n+\rho}+\sum_{n=0}^\infty c_{n-2} x^{n+\rho}+\sum_{n=0}^\infty 2c_n x^{n+\rho}=0$$

$$\sum_{n=0}^\infty (((n+\rho)(n+\rho-1)-2(n+\rho)+2)c_n +c_{n-2} )x^{n+\rho}=0$$

$$\sum_{n=0}^\infty (((n+\rho)(n+\rho-1)-2(n+\rho-1))c_n +c_{n-2} )x^{n+\rho}=0$$

$$\sum_{n=0}^\infty ((n+\rho-1)(n+\rho-2)c_n +c_{n-2} )x^{n+\rho}=0$$

決定方程式

$$(n+\rho-1)(n+\rho-2)c_n +c_{n-2}=0\cdots①$$

n=0のとき①より

$$(\rho-1)(\rho-2)c_0 +c_{-2}=0$$

\(c_{-2}=0\)とすれば\((\rho-1)(\rho-2)c_0=0\), \(c_0\neq0\)より\(\rho=1,\ 2\)

n=1のとき①より

$$\rho(\rho-1)c_1 +c_{-2}=0$$

\(c_{-2}=0\)とすれば\(\rho(\rho-1)c_1=0\)とならなければならないので\(c_1=0\)

\(\rho=1\)のとき ①より

$$n(n-1)c_n=-c_{n-2},\ c_n=\frac{-c_{n-2}}{n(n-1)}$$

  • \(c_1=0\)
  • \(n=2\)のとき \(c_2=-\frac{c_0}{2}\)
  • \(n=3\)のとき \(c_3=\frac{-c_1}{3\cdot 2}=0,\ c_5=c_7=\cdots=0\)
  • \(n=4\)のとき \(c_4=\frac{-c_2}{4\cdot 3}=\frac{c_0}{4!}\)

$$y=c_0\sum_{n=0}^\infty c_n x^{n+1}=c_0x\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\cdots②$$

\(\rho=2\)のとき ①より

$$(n+1)n c_n=-c_{n-2},\ c_n=\frac{-c_{n-2}}{(n+1)n}$$

  • \(c_1=0\)
  • \(n=2\)のとき \(c_2=\frac{-c_0}{3\cdot 2}=\frac{-c_0}{3!}\)
  • \(n=3\)のとき \(c_3=\frac{-c_1}{4\cdot 3}=0,\ c_5=c7-\cdots=0\)
  • \(n=4\)のとき \(c_4=\frac{-c_2}{5\cdot 4}=\frac{c_0}{5!}\)

$$y=c_0\sum_{n=0}^\infty c_n x^{n+2}=c_0x\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\cdots③$$

\(x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0\)の一般解

②と③の\(c_0\)は別物なので

$$y=c_0x\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}+c_1x\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}=c_0x\ cos\ x+c_1x\ sin\ x$$

参考文献