x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0 を解くのに必要な道具
- フロベニウスの方法
- 三角関数のマクローリン展開
\(x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0\)をフロベニウスの方法で解くのに苦労したので記事にしました。
※数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。
目次
\(x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0\)を解くのに必要な道具 x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0 を解くのに必要な道具
- フロベニウスの方法
- 三角関数のマクローリン展開
フロベニウスの方法
\(f(x)=x^{\rho}\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n x^n=\sum_{n=0}^\infty c_n x^{\rho+n}\ (c_0\neq0)\)と仮定する。
三角関数のマクローリン展開
$$cos\ x=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\cdots+(-1)^n\frac{1}{(2n)!}x^{2n}+\cdots$$
$$sin\ x=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{(2n-1)!}x^{2n-1}+\cdots$$
\(x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0\)の解法 x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0 の解法
x=0は確定特異点
級数を\(y=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n x^{n+\rho}\)とおくと\(y’=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+\rho)c_n x^{n+\rho-1},\ y”=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+\rho)(n+\rho-1)c_n x^{n+\rho-2}\)
これを\(x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0\)に代入 x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0に代入
$$\sum_{n=0}^\infty (n+\rho)(n+\rho-1)c_n x^{n+\rho}-\sum_{n=0}^\infty 2(n+\rho)c_n x^{n+\rho}+\sum_{n=0}^\infty c_n x^{n+\rho+2}+\sum_{n=0}^\infty 2c_n x^{n+\rho}=0$$
$$\sum_{n=0}^\infty (n+\rho)(n+\rho-1)c_n x^{n+\rho}-\sum_{n=0}^\infty 2(n+\rho)c_n x^{n+\rho}+\sum_{n=0}^\infty c_{n-2} x^{n+\rho}+\sum_{n=0}^\infty 2c_n x^{n+\rho}=0$$
$$\sum_{n=0}^\infty (((n+\rho)(n+\rho-1)-2(n+\rho)+2)c_n +c_{n-2} )x^{n+\rho}=0$$
$$\sum_{n=0}^\infty (((n+\rho)(n+\rho-1)-2(n+\rho-1))c_n +c_{n-2} )x^{n+\rho}=0$$
$$\sum_{n=0}^\infty ((n+\rho-1)(n+\rho-2)c_n +c_{n-2} )x^{n+\rho}=0$$
決定方程式
$$(n+\rho-1)(n+\rho-2)c_n +c_{n-2}=0\cdots①$$
n=0のとき①より
$$(\rho-1)(\rho-2)c_0 +c_{-2}=0$$
\(c_{-2}=0\)とすれば\((\rho-1)(\rho-2)c_0=0\), \(c_0\neq0\)より\(\rho=1,\ 2\)
n=1のとき①より
$$\rho(\rho-1)c_1 +c_{-2}=0$$
\(c_{-2}=0\)とすれば\(\rho(\rho-1)c_1=0\)とならなければならないので\(c_1=0\)
\(\rho=1\)のとき ①より
$$n(n-1)c_n=-c_{n-2},\ c_n=\frac{-c_{n-2}}{n(n-1)}$$
- \(c_1=0\)
- \(n=2\)のとき \(c_2=-\frac{c_0}{2}\)
- \(n=3\)のとき \(c_3=\frac{-c_1}{3\cdot 2}=0,\ c_5=c_7=\cdots=0\)
- \(n=4\)のとき \(c_4=\frac{-c_2}{4\cdot 3}=\frac{c_0}{4!}\)
$$y=\sum_{n=0}^\infty c_n x^{n+1}=c_0x\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\cdots②$$
\(\rho=2\)のとき ①より
$$(n+1)n c_n=-c_{n-2},\ c_n=\frac{-c_{n-2}}{(n+1)n}$$
- \(c_1=0\)
- \(n=2\)のとき \(c_2=\frac{-c_0}{3\cdot 2}=\frac{-c_0}{3!}\)
- \(n=3\)のとき \(c_3=\frac{-c_1}{4\cdot 3}=0,\ c_5=c7-\cdots=0\)
- \(n=4\)のとき \(c_4=\frac{-c_2}{5\cdot 4}=\frac{c_0}{5!}\)
$$y=\sum_{n=0}^\infty c_n x^{n+2}=c_0x\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\cdots③$$
\(x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0\)の一般解 x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0の一般解
②と③の\(c_0\)は別物なので
$$y=c_0x\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}+c_1x\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}=c_0x\ cos\ x+c_1x\ sin\ x$$
参考文献
独学で大学数学の微分方程式を勉強しています！
- 1/sinxdxから1/tdtへの変形 トラクトリックス
- 1階非斉次線形微分方程式の一般解
- y’=(1+y)/sinxの解き方 変数分離形
- y’=(x^2-y^2)/2xyの解き方 同次形
- y’=2y/x-yの解き方 同次形
- dy/dx-(3/2)(y-a)^(1/3)=0 の一般解と、それらの解曲線の包絡線である特異解
- x=-e^2t∫3t^2e^(-2t)dt+te^2t∫3te^(-2t)dtの解き方 部分積分
- 特殊解を求めるのに 定数変化法 より クラメルの公式
- x”-x’=sint+2costの一般解（未定係数法）
- x”-2x’+5x=20cost, x(0)=x'(0)=0の解き方 初期値問題
- (t+2)x”-(2t+6)x’+(t+4)x=0 (x=e^t)の一般解 階数低下法
- (t^2+3t+4)x”+(t^2+t+1)x’-(2t+3)x=0 (x=e^(-t))の一般解 階数低下法
- ３つの関数の積の積分
- 4xy”+2y’+y=0の解き方（オイラーの微分方程式）
- 4xy”+2y’+y=0の解き方（フロベニウスの方法）
- x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0の解き方（フロベニウスの方法）
- 級数解法・フロベニウスの方法 使い分け
- x=0 で 等温境界条件 u(0,t)=uをみたし、 x=1 で 断熱境界条件 ux(1,t)=0をみたす解
- x=0 で 断熱境界条件 ux(0,t)=uをみたし、 x=1 で 等温境界条件 u(1,t)=0 をみたす解
- 4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7をr^nsinnθ,r^ncosnθの1次結合として表す。
- 4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7の最大値・最小値 ラプラシアン
- 独学で大学数学の積分因子を勉強しています！
- 完全微分形の一般解
- (x^2+3xy+2y^2)dy+(2x^2+3xy+y^2)dx=0の一般解 完全微分形
