x^2y''-2xy'+(x^2+2)y=0 の解き方フロベニウスの方法

x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0 を解くのに必要な道具

フロベニウスの方法
三角関数のマクローリン展開

$x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0$を フロベニウスの方法 で解くのに苦労したので記事にしました。

※数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。

$x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0$を解くのに必要な道具 x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0 を解くのに必要な道具
フロベニウスの方法
三角関数のマクローリン展開
$x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0$の解法 x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0 の解法
- これを$x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0$に代入 x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0に代入
決定方程式
- n=0のとき①より
- n=1のとき①より
$\rho=1$のとき　①より
$\rho=2$のとき　①より
$x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0$の一般解 x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0の一般解
- ②と③の$c_0$は別物なので
参考文献
独学で大学数学の微分方程式を勉強しています！

$x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0$を解くのに必要な道具 x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0 を解くのに必要な道具

フロベニウスの方法
三角関数のマクローリン展開

フロベニウスの方法

$f(x)=x^{\rho}\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n x^n=\sum_{n=0}^\infty c_n x^{\rho+n}\ (c_0\neq0)$と仮定する。

三角関数のマクローリン展開

$$cos\ x=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\cdots+(-1)^n\frac{1}{(2n)!}x^{2n}+\cdots$$

$$sin\ x=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{(2n-1)!}x^{2n-1}+\cdots$$

$x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0$の解法 x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0 の解法

x=0は確定特異点

級数を$y=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n x^{n+\rho}$とおくと$y’=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+\rho)c_n x^{n+\rho-1},\ y”=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+\rho)(n+\rho-1)c_n x^{n+\rho-2}$

これを$x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0$に代入 x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0に代入

$$\sum_{n=0}^\infty (n+\rho)(n+\rho-1)c_n x^{n+\rho}-\sum_{n=0}^\infty 2(n+\rho)c_n x^{n+\rho}+\sum_{n=0}^\infty c_n x^{n+\rho+2}+\sum_{n=0}^\infty 2c_n x^{n+\rho}=0$$

$$\sum_{n=0}^\infty (n+\rho)(n+\rho-1)c_n x^{n+\rho}-\sum_{n=0}^\infty 2(n+\rho)c_n x^{n+\rho}+\sum_{n=0}^\infty c_{n-2} x^{n+\rho}+\sum_{n=0}^\infty 2c_n x^{n+\rho}=0$$

$$\sum_{n=0}^\infty (((n+\rho)(n+\rho-1)-2(n+\rho)+2)c_n +c_{n-2} )x^{n+\rho}=0$$

$$\sum_{n=0}^\infty (((n+\rho)(n+\rho-1)-2(n+\rho-1))c_n +c_{n-2} )x^{n+\rho}=0$$

$$\sum_{n=0}^\infty ((n+\rho-1)(n+\rho-2)c_n +c_{n-2} )x^{n+\rho}=0$$

決定方程式

$$(n+\rho-1)(n+\rho-2)c_n +c_{n-2}=0\cdots①$$

n=0のとき①より

$$(\rho-1)(\rho-2)c_0 +c_{-2}=0$$

$c_{-2}=0$とすれば$(\rho-1)(\rho-2)c_0=0$,　$c_0\neq0$より$\rho=1,\ 2$

n=1のとき①より

$$\rho(\rho-1)c_1 +c_{-2}=0$$

$c_{-2}=0$とすれば$\rho(\rho-1)c_1=0$とならなければならないので$c_1=0$

$\rho=1$のとき　①より

$$n(n-1)c_n=-c_{n-2},\ c_n=\frac{-c_{n-2}}{n(n-1)}$$

$c_1=0$
$n=2$のとき　$c_2=-\frac{c_0}{2}$
$n=3$のとき　$c_3=\frac{-c_1}{3\cdot 2}=0,\ c_5=c_7=\cdots=0$
$n=4$のとき　$c_4=\frac{-c_2}{4\cdot 3}=\frac{c_0}{4!}$

$$y=\sum_{n=0}^\infty c_n x^{n+1}=c_0x\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\cdots②$$

$\rho=2$のとき　①より

$$(n+1)n c_n=-c_{n-2},\ c_n=\frac{-c_{n-2}}{(n+1)n}$$

$c_1=0$
$n=2$のとき　$c_2=\frac{-c_0}{3\cdot 2}=\frac{-c_0}{3!}$
$n=3$のとき　$c_3=\frac{-c_1}{4\cdot 3}=0,\ c_5=c7-\cdots=0$
$n=4$のとき　$c_4=\frac{-c_2}{5\cdot 4}=\frac{c_0}{5!}$

$$y=\sum_{n=0}^\infty c_n x^{n+2}=c_0x\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\cdots③$$

$x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0$の一般解 x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0の一般解

②と③の$c_0$は別物なので

$$y=c_0x\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}+c_1x\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}=c_0x\ cos\ x+c_1x\ sin\ x$$

参考文献

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これを\(x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0\)に代入 x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0に代入