級数解法 ・ フロベニウスの方法 使い分け

線形微分方程式の 級数解法 と フロベニウスの方法 、どちらを使うべきか（ 使い分け ）混乱していたので整理しておきます。

※数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。

級数解法

級数を\(y=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n z^n\)とすると\(y’=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty nc_n z^{n-1},\ y”=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty n(n-1)c_n z^{n-2}\)

テイラー展開できるかどうか

テイラー展開できるかどうかで判断します。つまり、特異点（分母が0）がある場合には使えません。

具体例

$$f”(z)+f(z)=0$$

フロベニウスの方法

級数を\(y=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n x^{n+\rho}\)とおくと\(y’=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+\rho)c_n x^{n+\rho-1},\ y”=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+\rho)(n+\rho-1)c_n x^{n+\rho-2}\)

確定特異点のある微分方程式

y”＋P(x)y’＋Q(x)y ＝ 0　P(x),Q(x)の少なくとも一方で確定特異点(＝極)をもつとき。

具体例

$$x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0$$

参考文献

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