線形微分方程式の級数解法とフロベニウスの方法、どちらを使うべきか混乱していたので整理しておきます。
目次
級数解法
級数を\(y=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n z^n\)とすると\(y’=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty nc_n z^{n-1},\ y”=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty n(n-1)c_n z^{n-2}\)
テイラー展開できるかどうか
テイラー展開できるかどうかで判断します。つまり、特異点(分母が0)がある場合には使えません。
具体例
フロベニウスの方法
級数を\(y=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n x^{n+\rho}\)とおくと\(y’=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+\rho)c_n x^{n+\rho-1},\ y”=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+\rho)(n+\rho-1)c_n x^{n+\rho-2}\)
確定特異点のある微分方程式
\(y”+P(x)y’+Q(x)y = 0\) \(P(x),\ Q(x)\)の少なくとも一方で確定特異点(=極)をもつとき。
具体例
参考文献
リンク