級数解法・フロベニウスの方法 使い分け

線形微分方程式の級数解法とフロベニウスの方法、どちらを使うべきか混乱していたので整理しておきます。

級数解法

級数を\(y=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n z^n\)とすると\(y’=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty nc_n z^{n-1},\ y”=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty n(n-1)c_n z^{n-2}\)

テイラー展開できるかどうか

テイラー展開できるかどうかで判断します。つまり、特異点（分母が0）がある場合には使えません。

具体例

$$f”(z)+f(z)=0$$

フロベニウスの方法

級数を\(y=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n x^{n+\rho}\)とおくと\(y’=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+\rho)c_n x^{n+\rho-1},\ y”=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+\rho)(n+\rho-1)c_n x^{n+\rho-2}\)

確定特異点のある微分方程式

\(y”＋P(x)y’＋Q(x)y ＝ 0\)　\(P(x),\ Q(x)\)の少なくとも一方で確定特異点(＝極)をもつとき。

具体例

$$x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0$$

参考文献