級数解法 ・ フロベニウスの方法 使い分け

線形微分方程式の 級数解法 と フロベニウスの方法 、どちらを使うべきか（ 使い分け ）混乱していたので整理しておきます。

※数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。

級数解法

級数を\(y=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n z^n\)とすると\(y’=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty nc_n z^{n-1},\ y”=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty n(n-1)c_n z^{n-2}\)

テイラー展開できるかどうか

テイラー展開できるかどうかで判断します。つまり、特異点（分母が0）がある場合には使えません。

具体例

$$f”(z)+f(z)=0$$

フロベニウスの方法

級数を\(y=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n x^{n+\rho}\)とおくと\(y’=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+\rho)c_n x^{n+\rho-1},\ y”=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+\rho)(n+\rho-1)c_n x^{n+\rho-2}\)

確定特異点のある微分方程式

y”＋P(x)y’＋Q(x)y ＝ 0　P(x),Q(x)の少なくとも一方で確定特異点(＝極)をもつとき。

具体例

$$x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0$$

参考文献

独学で大学数学の微分方程式を勉強しています！

• 1/sinxdxから1/tdtへの変形 トラクトリックス 
• 1階非斉次線形微分方程式の一般解
• y’=(1+y)/sinxの解き方 変数分離形
• y’=(x^2-y^2)/2xyの解き方 同次形
• y’=2y/x-yの解き方 同次形
• dy/dx-(3/2)(y-a)^(1/3)=0 の一般解と、それらの解曲線の包絡線である特異解
• x=-e^2t∫3t^2e^(-2t)dt+te^2t∫3te^(-2t)dtの解き方 部分積分
• 特殊解を求めるのに 定数変化法 より クラメルの公式
• x”-x’=sint+2costの一般解（未定係数法）
• x”-2x’+5x=20cost, x(0)=x'(0)=0の解き方 初期値問題
• (t+2)x”-(2t+6)x’+(t+4)x=0 (x=e^t)の一般解 階数低下法
• (t^2+3t+4)x”+(t^2+t+1)x’-(2t+3)x=0 (x=e^(-t))の一般解 階数低下法
• ３つの関数の積の積分
• 4xy”+2y’+y=0の解き方（オイラーの微分方程式）
• 4xy”+2y’+y=0の解き方（フロベニウスの方法）
• x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0の解き方（フロベニウスの方法）
• 級数解法・フロベニウスの方法 使い分け
• x=0 で 等温境界条件 u(0,t)=uをみたし、 x=1 で 断熱境界条件 ux(1,t)=0をみたす解
• x=0 で 断熱境界条件 ux(0,t)=uをみたし、 x=1 で 等温境界条件 u(1,t)=0 をみたす解
• 4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7をr^nsinnθ,r^ncosnθの1次結合として表す。
• 4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7の最大値・最小値 ラプラシアン
• 独学で大学数学の積分因子を勉強しています！
• 完全微分形の一般解
• (x^2+3xy+2y^2)dy+(2x^2+3xy+y^2)dx=0の一般解 完全微分形