x=0 で 等温境界条件 u(0,t)=u、 x=1 で 断熱境界条件 ux(1,t)=0をみたす解

2020年9月14日

x=0 で 等温境界条件 u(0,t)=uをみたし、 x=1 で 断熱境界条件 ux(1,t)=0をみたす解 を求めるのに必要な道具

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x=0で等温境界条件u(0,t)=uをみたし、x=1で断熱境界条件 ux(1,t)=0をみたす解を求めるのに必要な道具

熱伝導を表す偏微分方程式

u(x,t)=X(x)T(t)とおき\(u_t=\alpha^2u_{xx}\)にあてはめると

$$X(x)T'(t)=\alpha^2X”(x)T(t),\ \frac{T'(t)}{\alpha^2T(t)}=\frac{X”(x)}{X(x)}$$

物理的な制約(熱の出入りがない状況)からk<0と仮定する。

\(\frac{T'(t)}{\alpha^2T(t)}=\frac{X”(x)}{X(x)}=k\)とおくと\(T'(t)-k\alpha^2T(t)=0,\ X”(x)-kX(x)=0\)が得られる。

\(k=-\lambda^2\)とすれば\(T'(t)+\lambda^2\alpha^2T(t)=0,\ X”(x)+\lambda^2X(x)=0\)

一般解

$$T(t)=A_1e^{-\lambda^2\alpha^2t}$$

$$X(x)=B_1\ sin\lambda x+B_2\ cos\lambda x=0$$

\(u(x,t)=T(t)X(x)\)であるから、\(A=A_1B_1,\ B=A_1B_2\)と取り直せば

$$u(x,t)=A_1e^{-\lambda^2\alpha^2t}(B_1sin\lambda x+B_2cos\lambda x)=e^{-\lambda^2\alpha^2t}(Asin\lambda x+Bcos\lambda x)$$

重ね合わせの原理

線形同次微分方程式では\(x_1,x_2\)が解ならば、その1次結合\(c_1x_1+c_2x_2\)も解となる。

証明

Lはxに関数L[x]を対応させる写像 L[x]=0

\(x_1,\ x_2\)が同次微分方程式の解であるから\(L[x_1]=0,\ L[x_2]=0\) よって\(L[c_1x_1+c_2x_2]=c_1L[x_1]+c_2L[x_2]=0\)

x=0で等温境界条件u(0,t)=uをみたし、x=1で断熱境界条件 ux(1,t)=0をみたす解

u(0,t)=u_x(1,t)=0をみたす解

等温境界条件

$$u(0,t)=e^{-\lambda^2\alpha^2t}(Asin0+Bcos0)=e^{-\lambda^2\alpha^2t}B=0,\ B=0$$

断熱境界条件

\(u(x,t)=e^{-\lambda^2\alpha^2t}Asin\lambda x\)をxで偏微分すると\(u_x(x,t)=e^{-\lambda^2\alpha^2t}A\lambda\ cos\ \lambda x\)

$$u_x(1,t)=e^{-\lambda^2\alpha^2t}A\lambda\ cos\ \lambda=0,\ A=0の場合は自明解,\ cos\lambda=0,\ \lambda=\frac{\pi}{2}+n\pi=\frac{\pi+2n\pi}{2}=\frac{(2n+1)\pi}{2}$$

これらの解を重ね合わせて\(u(0,t)=u_x(1,t)=0\)をみたす解は

$$u(x,t)=\sum_{n=0}^\infty A_n \exp\left(-\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}\right)^2\alpha^2t\right)sin\left(\frac{(2n+1)\pi x}{2}\right)$$

参考文献

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