x=0 で 断熱境界条件 ux(0,t)=u、 x=1 で 等温境界条件 u(1,t)=0 をみたす解

2020年9月14日

x=0 で 断熱境界条件 ux(0,t)=uをみたし、 x=1 で 等温境界条件 u(1,t)=0 をみたす解 を求めるのに必要な道具

\(x=0\)で断熱境界条件\(u_x(0,t)=0\)をみたし、\(x=1\)で等温境界条件\(u(1,t)=0\)をみたす解

数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。

\(x=0\)で断熱境界条件\(u_x(0,t)=0\)をみたし
\(x=1\)で等温境界条件\(u(1,t)=0\)をみたす解を求めるのに必要な道具 x=0で断熱境界条件ux(0,t)=uをみたし、x=1で等温境界条件u(1,t)=0をみたす解を求めるのに必要な道具

熱伝導を表す偏微分方程式

\(u(x,t)=X(x)T(t)\)とおき\(u_t=\alpha^2u_{xx}\)にあてはめると

$$X(x)T'(t)=\alpha^2X”(x)T(t),\ \frac{T'(t)}{\alpha^2T(t)}=\frac{X”(x)}{X(x)}$$

物理的な制約(熱の出入りがない状況)からk<0と仮定する。

\(\frac{T'(t)}{\alpha^2T(t)}=\frac{X”(x)}{X(x)}=kとおくとT'(t)-k\alpha^2T(t)=0,\ X”(x)-kX(x)=0\)が得られる。

\(k=-\lambda^2とすればT'(t)+\lambda^2\alpha^2T(t)=0,\ X”(x)+\lambda^2X(x)=0\)

一般解

$$T(t)=A_1e^{-\lambda^2\alpha^2t}$$

$$X(x)=B_1\ sin\lambda x+B_2\ cos\lambda x=0$$

\(u(x,t)=T(t)X(x)\)であるから、\(A=A_1B_1,\ B=A_1B_2\)と取り直せば

$$u(x,t)=A_1e^{-\lambda^2\alpha^2t}(B_1sin\lambda x+B_2cos\lambda x)=e^{-\lambda^2\alpha^2t}(Asin\lambda x+Bcos\lambda x)$$

重ね合わせの原理

線形同次微分方程式では\(x_1,x_2\)が解ならば、その1次結合\(c_1x_1+c_2x_2\)も解となる。

証明

Lはxに関数L[x]を対応させる写像 L[x]=0

\(x_1,\ x_2\)が同次微分方程式の解であるから\(L[x_1]=0,\ L[x_2]=0 \)よって\(L[c_1x_1+c_2x_2]=c_1L[x_1]+c_2L[x_2]=0\)

\(x=0\)で断熱境界条件\(u_x(0,t)=0\)をみたし
\(x=1\)で等温境界条件\(u(1,t)=0\)をみたす解 x=0で断熱境界条件ux(0,t)=uをみたし、x=1で等温境界条件u(1,t)=0をみたす解

\(u_x(0,t)=u(1,t)=0\)をみたす解

断熱境界条件

\(u(x,t)=e^{-\lambda^2\alpha^2t}(Asin\lambda x+B\ cos\ \lambda x)\)をxで偏微分すると\(u_x(x,t)=e^{-\lambda^2\alpha^2t}(A\lambda\ cos\ \lambda x-B \lambda sin\lambda x)\)

$$u_x(0,t)=e^{-\lambda^2\alpha^2t}A\lambda\ cos0=0,\ \lambda=0の場合は自明の解,\ A=0,\ u(x,t)=e^{-\lambda^2\alpha^2t}B\ cos\ \lambda x=0,$$

等温境界条件

$$u(1,t)=e^{-\lambda^2\alpha^2t}B\ cos\ \lambda=0,\ B=0の場合は自明解,\ cos\lambda=0,\ \lambda=\frac{\pi}{2}+n\pi=\frac{\pi+2n\pi}{2}=\frac{(2n+1)\pi}{2}$$

これらの解を重ね合わせて\(u_x(0,t)=u(1,t)=0\)をみたす解は

$$u(x,t)=\sum_{n=0}^\infty B_n \exp\left(-\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}\right)^2\alpha^2t\right)cos\left(\frac{(2n+1)\pi x}{2}\right)$$

参考文献

検索しても計算過程が見つからない場合

検索しても計算過程が見つからない場合ココナラ を利用してみてはいかがでしょうか。

ココナラ 登録方法

会員登録しなくてもサービスの検索はできます。

サービスの購入・出品には会員登録が必要です

ココナラ 登録方法
ココナラ 登録方法 会員登録しなくてもサービスの検索はできます。 サービスの購入・出品には会員登録が必要です。 ココナラ 登録方法 会員登録をクリックメールアド…
jikuu.site

スタディサプリ進路 社会人向け の 使い方

スタディサプリ進路 社会人向け の 使い方
スタディサプリ進路 社会人向け の 使い方 スタディサプリ進路 社会人向け の 使い方 スタディサプリ進路 社会人向けで社会人が数学を学べる大学を検索してみます…
jikuu.site

独学で大学数学の微分方程式を勉強しています!

独学 で大学数学の 微分方程式 を勉強しています!
独学 で大学数学の 微分方程式 を勉強 したいと思ったことありませんか? 実は、僕も大学数学の 微分方程式 を 独学 で学びたいと思い勉強を始めました。 結果、…
jikuu.site