プログラム・数学リファレンス

ux(0,t)=u(1,t)=0をみたす解

\(x=0で断熱境界条件u_x(0,t)=0をみたし、x=1で等温境界条件u(1,t)=0\)をみたす解

\(x=0で断熱境界条件u_x(0,t)=0\)をみたし
\(x=1で等温境界条件u(1,t)=0\)をみたす解を求めるのに必要な道具

  1. 熱伝導を表す偏微分方程式
  2. 重ね合わせの原理

熱伝導を表す偏微分方程式

\(u(x,t)=X(x)T(t)とおきu_t=\alpha^2u_{xx}\)にあてはめると

$$X(x)T'(t)=\alpha^2X”(x)T(t),\ \frac{T'(t)}{\alpha^2T(t)}=\frac{X”(x)}{X(x)}$$

物理的な制約(熱の出入りがない状況)からk<0と仮定する。

\(\frac{T'(t)}{\alpha^2T(t)}=\frac{X”(x)}{X(x)}=kとおくとT'(t)-k\alpha^2T(t)=0,\ X”(x)-kX(x)=0が得られる。\)

\(k=-\lambda^2とすればT'(t)+\lambda^2\alpha^2T(t)=0,\ X”(x)+\lambda^2X(x)=0\)

一般解

$$T(t)=A_1e^{-\lambda^2\alpha^2t}$$

$$X(x)=B_1\ sin\lambda x+B_2\ cos\lambda x=0$$

\(u(x,t)=T(t)X(x)であるから、A=A_1B_1,\ B=A_1B_2\)と取り直せば

$$u(x,t)=A_1e^{-\lambda^2\alpha^2t}(B_1sin\lambda x+B_2cos\lambda x)=e^{-\lambda^2\alpha^2t}(Asin\lambda x+Bcos\lambda x)$$

重ね合わせの原理

線形同次微分方程式では\(x_1,x_2が解ならば、その1次結合c_1x_1+c_2x_2\)も解となる。

証明

\(Lはxに関数L[x]を対応させる写像 L[x]=0\)

\(x_1,\ x_2が同次微分方程式の解であるからL[x_1]=0,\ L[x_2]=0 よってL[c_1x_1+c_2x_2]=c_1L[x_1]+c_2L[x_2]=0\)

\(x=0で断熱境界条件u_x(0,t)=0\)をみたし
\(x=1で等温境界条件u(1,t)=0\)をみたす解

\(u_x(0,t)=u(1,t)=0\)をみたす解

断熱境界条件

\(u(x,t)=e^{-\lambda^2\alpha^2t}(Asin\lambda x+B\ cos\ \lambda x)をxで偏微分するとu_x(x,t)=e^{-\lambda^2\alpha^2t}(A\lambda\ cos\ \lambda x-B \lambda sin\lambda x)\)

$$u_x(0,t)=e^{-\lambda^2\alpha^2t}A\lambda\ cos0=0,\ A=0$$

等温境界条件

$$u(1,t)=e^{-\lambda^2\alpha^2t}B\ cos\ \lambda=0,\ B=0の場合は自明解,\ cos\lambda=0,\ \lambda=\frac{\pi}{2}+n\pi=\frac{\pi+2n\pi}{2}=\frac{(2n+1)\pi}{2}$$

これらの解を重ね合わせて\(u_x(0,t)=u(1,t)=0\)をみたす解は

$$u(x,t)=\sum_{n=0}^\infty B_n \exp\left(-\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}\right)^2\alpha^2t\right)cos\left(\frac{(2n+1)\pi x}{2}\right)$$

参考文献