4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7 を r^nsinnθ,r^ncosnθ の 1次結合 として表す問題
\(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7\)が調和多項式であることを確かめ、それを極座標に変換して、\(r^n sin\ n \theta, r^n cos\ n \theta\)の1次結合として表す問題
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目次
- \(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7\)が調和多項式であることを確かめ、それを極座標に変換して、\(r^n sin\ n \theta, r^n cos\ n \theta\)の1次結合として表す問題を解くのに必要な道具 4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7 を r^nsinnθ, r^ncosnθ の 1次結合として表す問題を解くのに必要な道具
- 調和関数
- 正弦関数\((sin)\)の8倍角の公式
- \(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7\)を極座標に変換して、\(r^n sin\ n \theta, r^n cos\ n \theta\)の1次結合として表す。 4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7 r^nsinnθ,r^ncosnθ の 1次結合 として表す
- 参考文献
- 独学で大学数学の微分方程式を勉強しています！
\(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7\)が調和多項式であることを確かめ、それを極座標に変換して、\(r^n sin\ n \theta, r^n cos\ n \theta\)の1次結合として表す問題を解くのに必要な道具 4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7 を r^nsinnθ, r^ncosnθ の 1次結合として表す問題を解くのに必要な道具
調和関数
$$\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2},\ \Delta u(x,y)=0$$
調和関数とは、ラプラシアンを作用させると0になる 関数
\(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7\)が調和多項式であることを確かめる。 4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7 が調和多項式であることを確かめる。
$$\frac{\partial^2}{\partial x^2}(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7)=\frac{\partial}{\partial x}(28x^6y-140x^4y^3+84x^2y^5-4y^7)$$
$$=168x^5y-560x^3y^3+168xy^5$$
$$\frac{\partial^2}{\partial y^2}(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7)=\frac{\partial}{\partial y}(4x^7-84x^5y^2+140x^3y^4-28xy^6)$$
$$=-168x^5y+560x^3y^3-168xy^5$$
よって\(\Delta(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7)=0\) なので調和多項式
正弦関数\((sin)\)の8倍角の公式
$$sin8\theta=8cos^7\theta sin\theta-56cos^5\theta sin^3\theta+56cos^3\theta sin^5\theta-8cos\theta sin^7\theta$$
証明
$$(a+bi)^8=a^8+8a^7bi-28a^6b^2-56a^5b^3i+70a^4b^4+56a^3b^5i-28a^2b^6-8ab^7i+b^8$$
$$=a^8-28a^6b^2+70a^4b^4-28a^2b^6+b^8+i(8a^7b-56a^5b^3+56a^3b^5-8ab^7)$$
$$cos8\theta+isin8\theta=(cos\theta+isin \theta)^8$$
$$=cos^8\theta-28cos^6\theta sin^2\theta+70cos^4\theta sin^4\theta-28cos^2\theta sin^6\theta+sin^8\theta$$
$$+i(8cos^7\theta sin\theta-56cos^5\theta sin^3\theta+56cos^3\theta sin^5\theta-8cos\theta sin^7\theta)$$
\(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7\)を極座標に変換して、\(r^n sin\ n \theta, r^n cos\ n \theta\)の1次結合として表す。 4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7 r^nsinnθ,r^ncosnθ の 1次結合 として表す
\(x=r\ cos\theta,\ y=r\ sin\theta\)とおくと
$$4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7=r^8(4cos^7\theta sin\theta-28cos^5\theta sin^3\theta+28cos^3\theta sin^5\theta-4cos\theta sin^7\theta)$$
$$=r^8\left(\frac{sin8\theta}{2}\right)\cdots答え$$
参考文献
独学で大学数学の微分方程式を勉強しています！
- 1/sinxdxから1/tdtへの変形 トラクトリックス
- 1階非斉次線形微分方程式の一般解
- y’=(1+y)/sinxの解き方 変数分離形
- y’=(x^2-y^2)/2xyの解き方 同次形
- y’=2y/x-yの解き方 同次形
- dy/dx-(3/2)(y-a)^(1/3)=0 の一般解と、それらの解曲線の包絡線である特異解
- x=-e^2t∫3t^2e^(-2t)dt+te^2t∫3te^(-2t)dtの解き方 部分積分
- 特殊解を求めるのに 定数変化法 より クラメルの公式
- x”-x’=sint+2costの一般解（未定係数法）
- x”-2x’+5x=20cost, x(0)=x'(0)=0の解き方 初期値問題
- (t+2)x”-(2t+6)x’+(t+4)x=0 (x=e^t)の一般解 階数低下法
- (t^2+3t+4)x”+(t^2+t+1)x’-(2t+3)x=0 (x=e^(-t))の一般解 階数低下法
- ３つの関数の積の積分
- 4xy”+2y’+y=0の解き方（オイラーの微分方程式）
- 4xy”+2y’+y=0の解き方（フロベニウスの方法）
- x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0の解き方（フロベニウスの方法）
- 級数解法・フロベニウスの方法 使い分け
- x=0 で 等温境界条件 u(0,t)=uをみたし、 x=1 で 断熱境界条件 ux(1,t)=0をみたす解
- x=0 で 断熱境界条件 ux(0,t)=uをみたし、 x=1 で 等温境界条件 u(1,t)=0 をみたす解
- 4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7をr^nsinnθ,r^ncosnθの1次結合として表す。
- 4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7の最大値・最小値 ラプラシアン
- 独学で大学数学の積分因子を勉強しています！
- 完全微分形の一般解
- (x^2+3xy+2y^2)dy+(2x^2+3xy+y^2)dx=0の一般解 完全微分形
