4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7をr^nsinnθ,r^ncosnθの1次結合として表す。

$4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7$が調和多項式であることを確かめ、それを極座標に変換して、$r^n sin\ n \theta, r^n cos\ n \theta$の1次結合として表す問題

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$4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7$が調和多項式であることを確かめ、それを極座標に変換して、$r^n sin\ n \theta, r^n cos\ n \theta$の1次結合として表す問題を解くのに必要な道具

$$\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2},\ \Delta u(x,y)=0$$

調和関数とは、各々の変数について偏微分を2回して、それを足し合わせた式（これをラプラシアンという）を作用させると0になる関数

$$\frac{\partial^2}{\partial x^2}(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7)=\frac{\partial}{\partial x}(28x^6y-140x^4y^3+84x^2y^5-4y^7)$$

$$=168x^5y-560x^3y^3+168xy^5$$

$$\frac{\partial^2}{\partial y^2}(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7)=\frac{\partial}{\partial y}(4x^7-84x^5y^2+140x^3y^4-28xy^6)$$

$$=-168x^5y+560x^3y^3-168xy^5$$

よって$\Delta(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7)=0$ なので調和多項式

$$sin8\theta=8cos^7\theta sin\theta-56cos^5\theta sin^3\theta+56cos^3\theta sin^5\theta-8cos\theta sin^7\theta$$

$$(a+bi)^8=a^8+8a^7bi-28a^6b^2-56a^5b^3i+70a^4b^4+56a^3b^5i-28a^2b^6-8ab^7i+b^8$$

$$=a^8-28a^6b^2+70a^4b^4-28a^2b^6+b^8+i(8a^7b-56a^5b^3+56a^3b^5-8ab^7)$$

$$cos8\theta+isin8\theta=(cos\theta+isin \theta)^8$$

$$=cos^8\theta-28cos^6\theta sin^2\theta+70cos^4\theta sin^4\theta-28cos^2\theta sin^6\theta+sin^8\theta$$

$$+i(8cos^7\theta sin\theta-56cos^5\theta sin^3\theta+56cos^3\theta sin^5\theta-8cos\theta sin^7\theta)$$

$x=r\ cos\theta,\ y=r\ sin\theta$とおくと

$$4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7=r^8(4cos^7\theta sin\theta-28cos^5\theta sin^3\theta+28cos^3\theta sin^5\theta-4cos\theta sin^7\theta)$$

$$=r^8\left(\frac{sin8\theta}{2}\right)\cdots答え$$

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