4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7 を r^nsinnθ, r^ncosnθ の 1次結合

2020年9月29日

4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7 を r^nsinnθ,r^ncosnθ の 1次結合 として表す問題

\(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7\)が調和多項式であることを確かめ、それを極座標に変換して、\(r^n sin\ n \theta, r^n cos\ n \theta\)の1次結合として表す問題

数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。

\(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7\)が調和多項式であることを確かめ、それを極座標に変換して、\(r^n sin\ n \theta, r^n cos\ n \theta\)の1次結合として表す問題を解くのに必要な道具 4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7 を r^nsinnθ, r^ncosnθ の 1次結合として表す問題を解くのに必要な道具

調和関数

$$\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2},\ \Delta u(x,y)=0$$

調和関数とは、ラプラシアンを作用させると0になる 関数

各々の変数について偏微分を2回して、それを足し合わせた式

\(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7\)が調和多項式であることを確かめる。 4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7 が調和多項式であることを確かめる。

$$\frac{\partial^2}{\partial x^2}(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7)=\frac{\partial}{\partial x}(28x^6y-140x^4y^3+84x^2y^5-4y^7)$$

$$=168x^5y-560x^3y^3+168xy^5$$

$$\frac{\partial^2}{\partial y^2}(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7)=\frac{\partial}{\partial y}(4x^7-84x^5y^2+140x^3y^4-28xy^6)$$

$$=-168x^5y+560x^3y^3-168xy^5$$

よって\(\Delta(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7)=0\) なので調和多項式

正弦関数\((sin)\)の8倍角の公式

$$sin8\theta=8cos^7\theta sin\theta-56cos^5\theta sin^3\theta+56cos^3\theta sin^5\theta-8cos\theta sin^7\theta$$

証明

$$(a+bi)^8=a^8+8a^7bi-28a^6b^2-56a^5b^3i+70a^4b^4+56a^3b^5i-28a^2b^6-8ab^7i+b^8$$

$$=a^8-28a^6b^2+70a^4b^4-28a^2b^6+b^8+i(8a^7b-56a^5b^3+56a^3b^5-8ab^7)$$

$$cos8\theta+isin8\theta=(cos\theta+isin \theta)^8$$

$$=cos^8\theta-28cos^6\theta sin^2\theta+70cos^4\theta sin^4\theta-28cos^2\theta sin^6\theta+sin^8\theta$$

$$+i(8cos^7\theta sin\theta-56cos^5\theta sin^3\theta+56cos^3\theta sin^5\theta-8cos\theta sin^7\theta)$$

\(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7\)を極座標に変換して、\(r^n sin\ n \theta, r^n cos\ n \theta\)の1次結合として表す。 4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7 r^nsinnθ,r^ncosnθ の 1次結合 として表す

\(x=r\ cos\theta,\ y=r\ sin\theta\)とおくと

$$4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7=r^8(4cos^7\theta sin\theta-28cos^5\theta sin^3\theta+28cos^3\theta sin^5\theta-4cos\theta sin^7\theta)$$

$$=r^8\left(\frac{sin8\theta}{2}\right)\cdots答え$$

参考文献

検索しても計算過程が見つからない場合

検索しても計算過程が見つからない場合ココナラ を利用してみてはいかがでしょうか。

ココナラ 登録方法

会員登録しなくてもサービスの検索はできます。

サービスの購入・出品には会員登録が必要です

ココナラ 登録方法
ココナラ 登録方法 会員登録しなくてもサービスの検索はできます。 サービスの購入・出品には会員登録が必要です。 ココナラ 登録方法 会員登録をクリックメールアド…
jikuu.site

スタディサプリ進路 社会人向け の 使い方

スタディサプリ進路 社会人向け の 使い方
スタディサプリ進路 社会人向け の 使い方 スタディサプリ進路 社会人向け の 使い方 スタディサプリ進路 社会人向けで社会人が数学を学べる大学を検索してみます…
jikuu.site

独学で大学数学の微分方程式を勉強しています!

独学 で大学数学の 微分方程式 を勉強しています!
独学 で大学数学の 微分方程式 を勉強 したいと思ったことありませんか? 実は、僕も大学数学の 微分方程式 を 独学 で学びたいと思い勉強を始めました。 結果、…
jikuu.site