プログラム・数学リファレンス

4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7の最大値・最小値

\(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7\)を単位円の境界である単位円周\(x^2+y^2=1\)で考えたとき、最大値と最小値を求める問題

\(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7\)を単位円の境界である単位円周\(x^2+y^2=1\)で考えたとき、最大値と最小値を求めるのに必要な道具

  1. 正弦関数\((sin)\)の8倍角の公式
  2. ド・モアブルの定理

正弦関数\((sin)\)の8倍角の公式

$$sin8\theta=8cos^7\theta sin\theta-56cos^5\theta sin^3\theta+56cos^3\theta sin^5\theta-8cos\theta sin^7\theta$$

証明

$$(a+bi)^8=a^8+8a^7bi-28a^6b^2-56a^5b^3i+70a^4b^4+56a^3b^5i-28a^2b^6-8ab^7i+b^8$$

$$=a^8-28a^6b^2+70a^4b^4-28a^2b^6+b^8+i(8a^7b-56a^5b^3+56a^3b^5-8ab^7)$$

$$cos8\theta+isin8\theta=(cos\theta+isin \theta)^8\cdots ド・モアブルの定理$$

$$=cos^8\theta-28cos^6\theta sin^2\theta+70cos^4\theta sin^4\theta-28cos^2\theta sin^6\theta+sin^8\theta$$

$$+i(8cos^7\theta sin\theta-56cos^5\theta sin^3\theta+56cos^3\theta sin^5\theta-8cos\theta sin^7\theta)$$

ド・モアブルの定理

$$(cos\theta+isin \theta)^n=cos\ n\theta+isin\ \theta$$

証明

$$(cos\theta+isin \theta)^n=\left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta}=cos\ n\theta+isin\ \theta$$

\(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7\)を単位円の境界である単位円周\(x^2+y^2=1\)で考えたときの最大値・最小値

$$4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7=1^8(4cos^7\theta sin\theta-28cos^5\theta sin^3\theta+28cos^3\theta sin^5\theta-4cos\theta sin^7\theta)$$

\(=\frac{1}{2}sin8\theta,\ -1\le sin\ n\theta\le1\)より最大値\(\frac{1}{2}, 最小値-\frac{1}{2}\)

参考文献