プログラム・数学リファレンス

1階非斉次線形微分方程式の一般解

1階非斉次線形微分方程式の一般解の導出を使うと一般解が容易に解けます。

1階非斉次線形微分方程式の一般解の導出

1階非斉次線形微分方程式\(y’+p(x)y=q(x)\)の両辺に\(e^{\int_{}{}p(x)dx}\)を掛ける。

$$e^{\int_{}{}p(x)dx}y’+p(x) e^{\int_{}{}p(x)dx} y= e^{\int_{}{}p(x)dx} q(x),\ \left[e^{\int_{}{}p(x)dx} y\right]’= e^{\int_{}{}p(x)dx} q(x)$$

積分する

$$e^{\int_{}{}p(x)dx} y= \int_{}{}e^{\int_{}{}p(x)dx} q(x)+C$$

\( e^{\int_{}{}p(x)dx} \)で割る。

$$y= e^{-\int_{}{}p(x)dx} \int_{}{} e^{\int_{}{}p(x)dx} q(x) dx+C e^{-\int_{}{}p(x)dx} $$

\(y’-3y=e^x\)の解法

\(e^{\int_{}{}-3dx}=e^{-3x}\)を掛ける。

$$e^{-3x}y’-3 e^{-3x} y= e^{-3x} e^x,\ \left[e^{-3x}y\right]’=e^{-2x}$$

積分する。

$$ e^{-3x}y =\int_{}{}e^{-2x}dx,\ e^{-3x}y = -\frac{1}{2}e^{-2x}+C,\ y=-\frac{1}{2}e^x+Ce^{3x}$$

参考文献