プログラム・数学リファレンス

y’=(1+y)/sinxの解き方

\(y’=\frac{1+y}{sin\ x}\)の計算過程が複雑なので記事にしました。

計算の方針

\(\frac{1}{sin\ x}\)の積分が複雑なので最初に計算します。

\(\int_{}{}\frac{1}{sin\ x}\) を解くのに必要な道具

  1. 置換積分
  2. 2倍角の公式

置換積分

関数f(x)が連続であり、関数φ(t)は、微分可能で導関数φ'(t)が連続とする。このとき

$$\int{}{}f( \varphi (x)) \varphi ^{\prime}(x)dx=\int_{}{}f(t)dt$$

が成り立つ。

2倍角の公式

$$cos2\theta=2cos^2\theta-1$$

$$tan2\theta=\frac{2tan\theta}{1-tan^2\theta}$$

証明

cosの加法定理

$$cos(\alpha + \beta )=cos\alpha\ cos\beta-sin\alpha\ sin\beta$$

において α=β=θ とおくと

$$cos2\theta=cos\theta cos\theta-sin\theta sin\theta=cos^2\theta-sin^2\theta$$

tanの加法定理

$$tan( \alpha + \beta )=\frac{tan\ \alpha + tan\ \beta}{1-tan\ \alpha\ tan\ \beta}$$

において α=β=θ とおくと,

$$tan\ 2\theta=\frac{tan\ \theta+tan\ \theta}{1-tan\ \theta\ tan\ \theta}=\frac{2tan\ \theta}{1-tan^2\theta}$$

\(\int_{}{}\frac{1}{sin\ x}\)の解法

\(t=tan\frac{x}{2}\)とおくと

$$tan\ x=\frac{2tan\frac{x}{2}}{1-tan^2\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1-t^2}$$

\(cos^2\frac{x}{2}=\frac{1}{1+tan^2\frac{x}{2}}=\frac{1}{1+t^2}\)より

$$cos\ x=2cox^2\frac{x}{2}-1=\frac{2}{1+t^2}-1=\frac{2-1-t^2}{1+t^2}=\frac{1-t^2}{1+t^2}$$

$$sin\ x=tan\ x\ cos\ x=\frac{2t}{1-t^2}\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{2t}{1+t^2}$$

sin xの微分

$$\frac{dx}{dt}=\frac{2(1+t^2)-4t^2}{(1+t^2)^2}=\frac{2(1-t^2)}{(1+t^2)^2}=\frac{2(1-t^2)}{(1+t^2)(1-t^2)}=\frac{2}{1+t^2}$$

$$dx=\frac{2}{1+t^2}dt$$

\(\int_{}{}\frac{1}{sin\ x}\)の解法

$$\int_{}{}\frac{1}{sin\ x}dx=\int_{}{}\frac{1+t^2}{2t}\frac{2}{1+t^2}dt=\int_{}{}\frac{1}{t}dt=log|t|=log\left|tan\frac{x}{2}\right|$$

\(y’=\frac{1+y}{sin\ x}\)の解法

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1+y}{sin\ x}$$

$$\frac{1}{1+y}dy=\frac{1}{sin\ x}dx$$

$$\int_{}{} \frac{1}{1+y}dy=\int_{}{} \frac{1}{sin\ x}dx$$

$$log|1+y|=log\left|tan \frac{x}{2}\right|+A$$

$$|1+y|=e^A\left|tan\frac{x}{2}\right|$$

$$|1+y|=B\left|tan\frac{x}{2}\right|$$

$$1+y=C\cdot tan\frac{x}{2}$$

$$y=C\cdot tan\frac{x}{2}-1$$

参考文献