y’=2y/x-y の解き方 同次形

2020年2月8日

同次形 y’=2y/x-y を解くのに必要な道具:同次形微分方程式の解法

\(y’=\frac{2y}{x-y}\)の解き方を記事にしました。

数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。

\(y’=\frac{2y}{x-y}\)を解くのに必要な道具 同次形 y’=2y/x-y を解くのに必要な道具

同次形微分方程式の解法

同次形微分方程式の解法

\(u=\frac{y}{x}\)とおくとy=ux

$$\frac{d}{dx}(ux)=\frac{du}{dx}x+u\left(\frac{d}{dx}x\right)= \frac{du}{dx}x+u $$

\(y’=\frac{2y}{x-y}\)の解法 y’=2y/x-y の解法

$$\frac{du}{dx}x+u=\frac{2\frac{y}{x}}{1-\frac{y}{x}},\ \frac{du}{dx}x+u=\frac{2u}{1-u},\ \frac{du}{dx}x=\frac{2u-u+u^2}{1-u} ,\ \frac{du}{dx}x=\frac{u+u^2}{1-u} $$

$$\frac{1-u}{u+u^2}du=\frac{1}{x}dx,\ \frac{1}{u}-\frac{2}{u+1}=\frac{1}{x}dx$$

積分する

$$\int_{}{}\frac{1}{u}-2\int_{}{}\frac{1}{u+1}=\int_{}{}\frac{1}{x}dx,\ log|u|-2log|u+1|=log|x|+A ,\ log|u|-log(u+1)^2-log|x|=A $$

$$log\left|\frac{u}{x(u+1)^2}\right|=A,\ \left|\frac{u}{x(u+1)^2}\right|= e^A ,\ \frac{u}{x(u+1)^2}= B,\ \frac{u}{x(u^2+2u+1)}=B$$

\(u=\frac{y}{x}\)を代入

$$\frac{\frac{y}{x}}{x\left(\frac{y^2}{x^2}+2\frac{y}{x}+1\right)}=B,\ \frac{y}{y^2+2xy+x^2}=B,\ \frac{y}{B}=(x+y)^2$$

$$ x+y=\pm\frac{1}{ \sqrt {B}} \sqrt {y},\ x+y=C \sqrt {y} ,\ x+y-C\sqrt{y}=0$$

参考文献

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