プログラム・数学リファレンス

y’=2y/(x-y)の解き方

y’=2y/(x-y)の解き方、スマートでありませんが記事にしました。

y’=2y/(x-y)を解くのに必要な道具

同次形微分方程式の解法

同次形微分方程式の解法

\(u=\frac{y}{x}\)とおくとy=ux

$$\frac{d}{dx}(ux)=\frac{du}{dx}x+u(\frac{d}{dx}x)= \frac{du}{dx}x+u $$

\(y’=\frac{2y}{x-y}\)の解法

$$\frac{du}{dx}x+u=\frac{2\frac{y}{x}}{1-\frac{y}{x}},\ \frac{du}{dx}x+u=\frac{2u}{1-u},\ \frac{du}{dx}x=\frac{2u-u+u^2}{1-u} ,\ \frac{du}{dx}x=\frac{u+u^2}{1-u} $$

$$\frac{1-u}{u+u^2}du=\frac{1}{x}dx,\ \frac{1}{u}-\frac{2}{u+1}=\frac{1}{x}dx$$

積分する

$$\int_{}{}\frac{1}{u}-2\int_{}{}\frac{1}{u+1}=\int_{}{}\frac{1}{x}dx,\ log|u|-2log|u-1|=log|x|+A ,\ log|u|-2log|u-1|-log|x|=A $$

$$log\left|\frac{u}{x(u+1)^2}\right|=A,\ \left|\frac{u}{x(u+1)^2}\right|= e^A ,\ \frac{u}{x(u+1)^2}= B,\ \frac{u}{x(u^2+2u+1)}=B$$

\(u=\frac{y}{x}\)を代入

$$\frac{\frac{y}{x}}{x\left(\frac{y^2}{x^2}+2\frac{y}{x}+1\right)}=B,\ \frac{y}{y^2+2xy+x^2}=B,\ \frac{y}{B}=(x+y)^2$$

$$ x+y=\pm\frac{1}{ \sqrt {B}} \sqrt {y},\ x+y=C \sqrt {y} ,\ x+y-C\sqrt{y}=0$$

参考文献