プログラム・数学リファレンス

y’=(x^2-y^2)/2xyの解き方

\(y’=\frac{x^2+y^2}{2xy}\)は検索にかかってくるが \(y’=\frac{x^2-y^2}{2xy}\)は検索しても出てこなかったので記事にしました。

\(y’=\frac{x^2-y^2}{2xy}\)を解くのに必要な道具

対数関数の置換積分

対数関数の置換積分

$$\int_{}{}{\frac{ \varphi ^{\prime} (x)}{ \varphi (x)}}dx= log| \varphi (x) |$$

証明

$$(log\int_{}{}{(x)}) ^{\prime} = \frac{1}{ \int_{}{}{(x)}}・\int_ {}{ ^{\prime} } {(x)} =\frac{ \int_ {}{ ^{\prime} } {(x)} }{ \int_{}{}{(x)} } $$

対数微分の公式から導けます。

\(y’=\frac{x^2-y^2}{2xy}\) の解法

y=uxと置けば

$$\frac{d}{dx}(ux)=\frac{du}{dx}x+u\left(\frac{d}{dx}x\right)=\frac{du}{dx}x+u$$

$$y’=\frac{x^2-y^2}{2xy}=\frac{x}{2y}-\frac{y}{2x}$$

\(y’= \frac{x}{2y}-\frac{y}{2x} \)に\(\frac{y}{x}=u,\ y’= \frac{x}{2y}-\frac{y}{2x} \)を代入

$$\frac{du}{dx}x+u =\frac{1}{2u}-\frac{u}{2}$$

$$\frac{du}{dx}x =\frac{1}{2u}-\frac{3u}{2}$$

$$2\frac{du}{dx}x =\frac{1}{u}-3u$$

$$2\frac{du}{dx}x =\frac{1-3u^2}{u}$$

$$\frac{2u}{1-3u^2}du =\frac{1}{x}dx$$

$$\frac{2u}{3u^2-1}du =-\frac{1}{x}dx$$

これを積分する

$$\int_{}{}\frac{2u}{3u^2-1}=-\int_{}{}\frac{1}{x}dx$$

$$ \frac{1}{3} log|3u^2-1|=-log|x|+A$$

$$log|3u^2-1|+3log|x|=B$$

$$log|(3u^2-1)x^3|=B$$

$$(3u^2-1)x^3=\pm e^{B}$$

$$\left(\frac{3y^2}{x^2}-1\right)x^3=C$$

$$3y^2x-x^3-C=0$$

$$y^2-\frac{1}{3}x^2-\frac{C}{x}=0$$

参考文献