プログラム・数学リファレンス

積分因子の求め方

言葉の定義

  1. 全微分方程式
  2. 完全微分条件
  3. 積分因子

全微分方程式

\(P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\)の形の方程式を全微分方程式という。

完全微分条件

\(P(x,y)dx+Q(x,y)dy\)がある関数の全微分になっている条件

$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$

積分因子

\(P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\)が完全微分条件をみたしていない場合

\(\frac{\partial \lambda P}{\partial y}=\frac{\partial \lambda Q}{\partial x}を満たすように\lambda(x,y)P(x,y)dx+\lambda(x,y) Q(x,y)dy=0\)と書きなおす。

この\(\lambda(x,y)\)を積分因子という。

積分因子の求め方

\((xy^2+xy^2cos\ x+xy\ cox\ y)dx+(xy\ sin\ x-x^2y\ sin\ y+x^2y)dy=0\)の積分因子

\(P=xy^2+xy^2cos\ x+xy\ cos\ y,\ Q=xy\ sin\ x-x^2y\ sin\ y+x^2yとすると\frac{\partial P}{\partial y}\neq\frac{\partial Q}{\partial x}\)であるから、完全微分方程式ではない。

完全微分条件

$$\frac{\partial \lambda P}{\partial y}=\frac{\partial \lambda Q}{\partial x},\ \frac{\partial}{\partial y}(\lambda(xy^2+xy^2cos\ x+xy\ cox\ y))=\frac{\partial}{\partial x}(\lambda(xy\ sin\ x-x^2y\ sin\ y+x^2y))$$

$$\frac{\partial\lambda }{\partial y}(xy^2+xy^2cos\ x+xy\ cox\ y)+\lambda(2xy+2xy\ cos\ x+x\ cos\ y-xy\ sin\ y)$$

$$=\frac{\partial\lambda}{\partial x}(xy\ sin\ x-x^2y\ sin\ y+x^2y)+\lambda(y\ sin\ x+xy\ cos\ x-2xy\ sin\ y+2xy)$$

$$(xy^2+xy^2cos\ x+xy\ cox\ y)\frac{\partial\lambda }{\partial y}-(xy\ sin\ x-x^2y\ sin\ y+x^2y)\frac{\partial\lambda}{\partial x}$$

$$=-\lambda(2xy+2xy\ cos\ x+x\ cos\ y-xy\ sin\ y-y\ sin\ x-xy\ cos\ x+2xy\ sin\ y-2xy)$$

$$=-\lambda(xy\ cos\ x+x\ cos\ y+xy\ sin\ y-y\ sin\ x)$$

\(\lambda=x^my^nとおくと\frac{\partial \lambda}{\partial y}=nx^my^{n-1},\ \frac{\partial \lambda}{\partial x}=mx^{n-1}y^n\)

$$左辺=(xy^2+xy^2cos\ x+xy\ cox\ y)nx^my^{n-1}-(xy\ sin\ x-x^2y\ sin\ y+x^2y)mx^{n-1}y^n$$

$$=nx^{m+1}y^{n+1}+nx^{m+1}y^{n+1}cos\ x+nx^{m+1}y^n\ cox\ y-mx^m y^{n+1}\ sin\ x+mx^{m+1}y^{n+1} sin\ y-mx^{m+1}y^{n+1}$$

$$=(n-m)x^{m+1}y^{n+1}+nx^{m+1}y^{n+1}cos\ x+nx^{m+1}y^n\ cox\ y-mx^m y^{n+1}\ sin\ x+mx^{m+1}y^{n+1} sin\ y$$

$$右辺=-x^my^n(xy\ cos\ x+x\ cos\ y+xy\ sin\ y-y\ sin\ x)$$

$$=-x^{m+1}y^{n+1}\ cos\ x-x^{m+1}y^n\ cos\ y-x^{m+1}y^{n+1}\ sin\ y+x^my^{n+1}\ sin\ x)$$

係数を比較し

$$n=-1,\ m=-1,\ 積分因子\lambda=\frac{1}{xy}$$

参考文献