(2x^4y+2x^3y+11x^2y^2+2x^3y^2+9xy^3)dy+(3x^3y^2+2x^2y^2+5xy^3+3x^2y^3+3y^4)dx=0の解き方

$(2x^4y+2x^3y+11x^2y^2+2x^3y^2+9xy^3)dy+(3x^3y^2+2x^2y^2+5xy^3+3x^2y^3+3y^4)dx=0$は完全微分形ではないので積分因子$\frac{1}{x+y}$を掛ければ完全微分方程式

$$(3x^2y^2+2xy^2+3y^3)dx+(2x^3y+2x^2y+9xy^2)dy=0$$

になる。

$(3x^2y^2+2xy^2+3y^3)dx+(2x^3y+2x^2y+9xy^2)dy=0$を解くのに必要な道具

完全微分形の一般解

１階の正規形の微分方程式

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0の P(x, y), Q(x, y) が

$$\frac{ \partial P}{ \partial y}(x,\ y)= \frac{ \partial Q}{ \partial x}(x,\ y) $$

を満たすとき

$$\int_{}{}P(x,\ y)dx+\int_{}{}\left[Q(x,\ y)-\frac{ \partial }{ \partial y} \left( \int_{}{}P(x,\ y)dx\right)\right]dy=C$$

が微分方程式の一般解になる。

$P(x,\ y)=3x^2y^2+2xy^2+3y^3,\ Q(x,\ y)=2x^3y+2x^2y+9xy^2$とおくと

$$ \frac{ \partial P}{ \partial y} =6x^2y+4xy+9y^2,\ \frac{ \partial Q}{ \partial x}= 6x^2y+4xy+9y^2$$

であり$\frac{ \partial P}{ \partial y}= \frac{ \partial Q}{ \partial x}$であるからこの微分方程式は完全形である。したがって

$$\int_{}{}P(x,\ y)dx ＝\int_{}{}(3x^2y^2+2xy^2+3y^3)dx=x^3y^2+x^2y^2+3xy^3$$

$$Q(x,\ y)-\frac{ \partial }{ \partial y} (x^3y^2+x^2y^2 +3xy^3 )=2x^3y+2x^2y+9xy^2-2x^3y-2x^2y-9xy^2=0$$

$$\int_{}{}P(x,\ y)dx+\int_{}{}0dy=x^3y^2+x^2y^2+3xy^3+C$$

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