プログラム・数学リファレンス

(2x^4y+2x^3y+11x^2y^2+2x^3y^2+9xy^3)dy+(3x^3y^2+2x^2y^2+5xy^3+3x^2y^3+3y^4)dx=0の解き方

\((2x^4y+2x^3y+11x^2y^2+2x^3y^2+9xy^3)dy+(3x^3y^2+2x^2y^2+5xy^3+3x^2y^3+3y^4)dx=0\)は完全微分形ではないので積分因子\(\frac{1}{x+y}\)を掛ければ完全微分方程式

$$(3x^2y^2+2xy^2+3y^2+3y^3)dx+(2x^3y+2x^2y+9xy^2)dy=0$$

になる。

\(3x^2y^2+2xy^2+3y^2+3y^3)dx+(2x^3y+2x^2y+9xy^2)dy=0\)を解くのに必要な道具

完全微分形の一般解

完全微分形の一般解

1階の正規形の微分方程式

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0の P(x, y), Q(x, y) が

$$\frac{ \partial P}{ \partial y}(x,\ y)= \frac{ \partial Q}{ \partial x}(x,\ y) $$

を満たすとき

$$\int_{}{}P(x,\ y)dx+\int_{}{}\left[Q(x,\ y)-\frac{ \partial }{ \partial y} \left( \int_{}{}P(x,\ y)dx\right)\right]dy=C$$

が微分方程式の一般解になる。

\(3x^2y^2+2xy^2+3y^2+3y^3)dx+(2x^3y+2x^2y+9xy^2)dy=0\) の解法

\(P(x,\ y)=3x^2y^2+2xy^2+3y^2+3y^3,\ Q(x,\ y)=2x^3y+2x^2y+9xy^2\)とおくと

$$ \frac{ \partial P}{ \partial y} =6x^2y+4xy+9y^2,\ \frac{ \partial Q}{ \partial x}= 6x^2y+4xy+9y^2$$

であり\(\frac{ \partial P}{ \partial y}= \frac{ \partial Q}{ \partial x}\)であるからこの微分方程式は完全形である。したがって

$$\int_{}{}P(x,\ y)dx =x^3y^2+x^2y^2+\frac{3}{4}y^4$$

$$Q(x,\ y)-\frac{ \partial }{ \partial y} (x^3y^2+x^2y^2 +\frac{3}{4}y^4 )=2x^3y+2x^2y+9xy^2-2x^3y-2x^2y-3y^3=9xy^2-3y^3$$

$$\int_{}{}P(x,\ y)dx+\int_{}{}(9xy^2-3y^3)dy=x^3y^2+x^2y^2+\frac{3}{4}y^4+3xy^3-\frac{3}{4}y^4=x^3y^2+x^2y^2+3xy^3$$

参考文献