(2x^4y+2x^3y+11x^2y^2+2x^3y^2+9xy^3)dy+(3x^3y^2+2x^2y^2+5xy^3+3x^2y^3+3y^4)dx=0の解き方

積分因子の求め方

数学リファレンス

積分因子の求め方

https://jikuu.site/invitation52

言葉の定義全微分方程式完全微分条件積分因子全微分方程式\(P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\)の形の方程式を全微分方程式という。完全微分条件\(P(x,y)dx+Q(x,y)dy\)がある関数の全微分になっている条件$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$積分因子\(P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\)が完全微分条件をみたしていない場合\(\frac{\partial \lambda P}{\partial y}=\frac{\partial \lambda Q}{\partial x}を満たすように\lambda(x,y)P(x,y)dx+\lambda(x,y) Q(x,y)dy=0\)と書きなおす。この\(\lambda(x,y)\)を積分因子という。積...

\((2x^4y+2x^3y+11x^2y^2+2x^3y^2+9xy^3)dy+(3x^3y^2+2x^2y^2+5xy^3+3x^2y^3+3y^4)dx=0\)は完全微分形ではないので積分因子\(\frac{1}{x+y}\)を掛ければ完全微分方程式

$$(3x^2y^2+2xy^2+3y^3)dx+(2x^3y+2x^2y+9xy^2)dy=0$$

になる。

\((3x^2y^2+2xy^2+3y^3)dx+(2x^3y+2x^2y+9xy^2)dy=0\)を解くのに必要な道具

完全微分形の一般解

完全微分形の一般解

１階の正規形の微分方程式

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0の P(x, y), Q(x, y) が

$$\frac{ \partial P}{ \partial y}(x,\ y)= \frac{ \partial Q}{ \partial x}(x,\ y) $$

を満たすとき

$$\int_{}{}P(x,\ y)dx+\int_{}{}\left[Q(x,\ y)-\frac{ \partial }{ \partial y} \left( \int_{}{}P(x,\ y)dx\right)\right]dy=C$$

が微分方程式の一般解になる。

\((3x^2y^2+2xy^2+3y^3)dx+(2x^3y+2x^2y+9xy^2)dy=0\) の解法

\(P(x,\ y)=3x^2y^2+2xy^2+3y^3,\ Q(x,\ y)=2x^3y+2x^2y+9xy^2\)とおくと

$$ \frac{ \partial P}{ \partial y} =6x^2y+4xy+9y^2,\ \frac{ \partial Q}{ \partial x}= 6x^2y+4xy+9y^2$$

であり\(\frac{ \partial P}{ \partial y}= \frac{ \partial Q}{ \partial x}\)であるからこの微分方程式は完全形である。したがって

$$\int_{}{}P(x,\ y)dx ＝\int_{}{}(3x^2y^2+2xy^2+3y^3)dx=x^3y^2+x^2y^2+3xy^3$$

$$Q(x,\ y)-\frac{ \partial }{ \partial y} (x^3y^2+x^2y^2 +3xy^3 )=2x^3y+2x^2y+9xy^2-2x^3y-2x^2y-9xy^2=0$$

$$\int_{}{}P(x,\ y)dx+\int_{}{}0dy=x^3y^2+x^2y^2+3xy^3+C$$

参考文献

完全微分形の一般解を導出する方法で一般解を求める方法

数学リファレンス

完全微分形の一般解

https://jikuu.site/invitation57-2-3other

完全微分形の一般解を導出する方法で一般解を求める。完全微分形の一般解の導出$$P(x,y)= \frac{ \partial}{ \partial x}U(x,y),\ Q(x,y)= \frac{ \partial}{ \partial y}U(x,y)とする。$$$$dU(x,y)=\frac{ \partial U(x,y)}{ \partial x}dx+\frac{ \partial U(x,y)}{ \partial y}dy=0,\ U(x,y)=C\cdots①$$\(P(x,\ y)をxで積分する\)$$U(x,y)=\int_{}{}P(x,y)dx+C(y)\cdots②$$\(y\)で微分する$$\frac{ \partial}{ \partial y}U(x,y)=\frac{ \partial}{ \partial y}\left(\int_{}{}P(x,y)dx\right)+\frac{ \partial}{ \partial y}C(y)$$...