プログラム・数学リファレンス

完全微分形の一般解

完全微分形の一般解を導出する方法で一般解を求める。

完全微分形の一般解の導出

$$P(x,y)= \frac{ \partial}{ \partial x}U(x,y),\ Q(x,y)= \frac{ \partial}{ \partial y}U(x,y)とする。$$

$$dU(x,y)=\frac{ \partial U(x,y)}{ \partial x}dx+\frac{ \partial U(x,y)}{ \partial y}dy=0,\ U(x,y)=C\cdots①$$

\(P(x,\ y)をxで積分する\)

$$U(x,y)=\int_{}{}P(x,y)dx+C(y)\cdots②$$

\(y\)で微分する

$$\frac{ \partial}{ \partial y}U(x,y)=\frac{ \partial}{ \partial y}\left(\int_{}{}P(x,y)dx\right)+\frac{ \partial}{ \partial y}C(y)$$

$$\frac{ \partial}{ \partial y}\left(\int_{}{}P(x,y)dx\right)+\frac{ \partial}{ \partial y}C(y)=Q(x,y),\ \frac{ \partial}{ \partial y}C(y)=Q(x,y)-\frac{ \partial}{ \partial y}\left(\int_{}{}P(x,y)dx\right)$$

\(y\)で積分する

$$C(y)=\int_{}{}\left[Q(x,y)-\frac{ \partial}{ \partial y}\left(\int_{}{}P(x,y)dx\right)\right]dy$$

これと①を②に代入

$$\int_{}{}P(x,y)dx+\int_{}{}\left[Q(x,y)-\frac{ \partial}{ \partial y}\left(\int_{}{}P(x,y)dx\right)\right]dy=C$$

\((3x^2y^2+2xy^2+3y^3)dx+(2x^3y+2x^2y+9xy^2)dy=0\) の一般解

\((2x^4y+2x^3y+11x^2y^2+2x^3y^2+9xy^3)dy+(3x^3y^2+2x^2y^2+5xy^3+3x^2y^3+3y^4)dx=0\)は完全微分形ではないので積分因子\(\frac{1}{x+y}\)を掛ければ完全微分方程式

$$(3x^2y^2+2xy^2+3y^3)dx+(2x^3y+2x^2y+9xy^2)dy=0になる。$$

\(P(x,y)=3x^2y^2+3y^2+3y^3,\ Q(x,y)=2x^3y+2x^2y+9xy^2\)とおくと

完全微分条件

$$ \frac{ \partial P}{ \partial y} =6x^2y+4xy+9y^2,\ \frac{ \partial Q}{ \partial x}= 6x^2y+4xy+9y^2$$

であり\(\frac{ \partial P}{ \partial y}= \frac{ \partial Q}{ \partial x}\)であるからこの微分方程式は完全形である。

\(P(x,\ y)をxで積分する\)

$$\int_{}{}P(x,y)dx =\int_{}{}(3x^2y^2+2xy^2+3y^3)=x^3y^2+x^2y^2+3xy^3+C(y)\cdots①$$

\(y\)で微分する

$$\frac{ \partial}{ \partial y}\left(x^3y^2+x^2y^2+3xy^3+C(y)\right)=2x^3y+2x^2y+9xy^2+C'(y)$$

$$2x^3y+2x^2y+9xy^2+C'(y)=2x^3y+2x^2y+9xy^2,\ C'(y)=0$$

\(y\)で積分する

$$C(y)=C$$

これを①に代入

$$U(x,y)=x^3y^2+x^2y^2+3xy^3$$

参考文献