完全微分形の一般解を導出する方法で 完全微分形の一般解 を求める。
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目次
完全微分形の一般解 の導出
$$P(x,y)= \frac{ \partial}{ \partial x}U(x,y),\ Q(x,y)= \frac{ \partial}{ \partial y}U(x,y)とする。$$
$$dU(x,y)=\frac{ \partial U(x,y)}{ \partial x}dx+\frac{ \partial U(x,y)}{ \partial y}dy=0,\ U(x,y)=C\cdots①$$
P(x,y)をxで積分する
$$U(x,y)=\int_{}{}P(x,y)dx+C(y)\cdots②$$
yで微分する
$$\frac{ \partial}{ \partial y}U(x,y)=\frac{ \partial}{ \partial y}\left(\int_{}{}P(x,y)dx\right)+\frac{ \partial}{ \partial y}C(y)$$
$$\frac{ \partial}{ \partial y}\left(\int_{}{}P(x,y)dx\right)+\frac{ \partial}{ \partial y}C(y)=Q(x,y),\ \frac{ \partial}{ \partial y}C(y)=Q(x,y)-\frac{ \partial}{ \partial y}\left(\int_{}{}P(x,y)dx\right)$$
yで積分する
$$C(y)=\int_{}{}\left[Q(x,y)-\frac{ \partial}{ \partial y}\left(\int_{}{}P(x,y)dx\right)\right]dy$$
これと①を②に代入
$$\int_{}{}P(x,y)dx+\int_{}{}\left[Q(x,y)-\frac{ \partial}{ \partial y}\left(\int_{}{}P(x,y)dx\right)\right]dy=C$$
\((3x^2y^2+2xy^2+3y^3)dx+(2x^3y+2x^2y+9xy^2)dy=0\) の一般解
\((2x^4y+2x^3y+11x^2y^2+2x^3y^2+9xy^3)dy+(3x^3y^2+2x^2y^2+5xy^3+3x^2y^3+3y^4)dx=0\)は完全微分形ではないので積分因子\(\frac{1}{x+y}\)を掛ければ完全微分方程式
$$(3x^2y^2+2xy^2+3y^3)dx+(2x^3y+2x^2y+9xy^2)dy=0になる。$$
\(P(x,y)=3x^2y^2+3y^2+3y^3,\ Q(x,y)=2x^3y+2x^2y+9xy^2\)とおくと
完全微分条件
$$ \frac{ \partial P}{ \partial y} =6x^2y+4xy+9y^2,\ \frac{ \partial Q}{ \partial x}= 6x^2y+4xy+9y^2$$
であり\(\frac{ \partial P}{ \partial y}= \frac{ \partial Q}{ \partial x}\)であるからこの微分方程式は完全形である。
P(x,y)をxで積分する
$$\int_{}{}P(x,y)dx ＝\int_{}{}(3x^2y^2+2xy^2+3y^3)=x^3y^2+x^2y^2+3xy^3+C(y)\cdots①$$
yで微分する
$$\frac{ \partial}{ \partial y}\left(x^3y^2+x^2y^2+3xy^3+C(y)\right)=2x^3y+2x^2y+9xy^2+C'(y)$$
$$2x^3y+2x^2y+9xy^2+C'(y)=2x^3y+2x^2y+9xy^2,\ C'(y)=0$$
yで積分する
$$C(y)=C$$
これを①に代入
$$U(x,y)＝x^3y^2+x^2y^2+3xy^3$$
参考文献
独学で大学数学の微分方程式を勉強しています！
- 1/sinxdxから1/tdtへの変形 トラクトリックス
- 1階非斉次線形微分方程式の一般解
- y’=(1+y)/sinxの解き方 変数分離形
- y’=(x^2-y^2)/2xyの解き方 同次形
- y’=2y/x-yの解き方 同次形
- dy/dx-(3/2)(y-a)^(1/3)=0 の一般解と、それらの解曲線の包絡線である特異解
- x=-e^2t∫3t^2e^(-2t)dt+te^2t∫3te^(-2t)dtの解き方 部分積分
- 特殊解を求めるのに 定数変化法 より クラメルの公式
- x”-x’=sint+2costの一般解（未定係数法）
- x”-2x’+5x=20cost, x(0)=x'(0)=0の解き方 初期値問題
- (t+2)x”-(2t+6)x’+(t+4)x=0 (x=e^t)の一般解 階数低下法
- (t^2+3t+4)x”+(t^2+t+1)x’-(2t+3)x=0 (x=e^(-t))の一般解 階数低下法
- ３つの関数の積の積分
- 4xy”+2y’+y=0の解き方（オイラーの微分方程式）
- 4xy”+2y’+y=0の解き方（フロベニウスの方法）
- x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0の解き方（フロベニウスの方法）
- 級数解法・フロベニウスの方法 使い分け
- x=0 で 等温境界条件 u(0,t)=uをみたし、 x=1 で 断熱境界条件 ux(1,t)=0をみたす解
- x=0 で 断熱境界条件 ux(0,t)=uをみたし、 x=1 で 等温境界条件 u(1,t)=0 をみたす解
- 4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7をr^nsinnθ,r^ncosnθの1次結合として表す。
- 4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7の最大値・最小値 ラプラシアン
- 独学で大学数学の積分因子を勉強しています！
- 完全微分形の一般解
- (x^2+3xy+2y^2)dy+(2x^2+3xy+y^2)dx=0の一般解 完全微分形
