(x^2+3xy+2y^2)dy+(2x^2+3xy+y^2)dx=0の解き方

積分因子の求め方

数学リファレンス

積分因子の求め方

https://jikuu.site/invitation52

言葉の定義全微分方程式完全微分条件積分因子全微分方程式\(P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\)の形の方程式を全微分方程式という。完全微分条件\(P(x,y)dx+Q(x,y)dy\)がある関数の全微分になっている条件$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$積分因子\(P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\)が完全微分条件をみたしていない場合\(\frac{\partial \lambda P}{\partial y}=\frac{\partial \lambda Q}{\partial x}を満たすように\lambda(x,y)P(x,y)dx+\lambda(x,y) Q(x,y)dy=0\)と書きなおす。この\(\lambda(x,y)\)を積分因子という。積...

\((x^2+3xy+2y^2)dy+(2x^2+3xy+y^2)dx=0\) は完全微分形ではないので積分因子\(\frac{1}{x+y}\)を掛ければ完全微分方程式

$$(2x+y)dx+(x+2y)dy=0$$

になる。

\((2x+y)dx+(x+2y)dy=0\) を解くのに必要な道具

完全微分形の一般解

完全微分形の一般解

１階の正規形の微分方程式

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0の P(x, y), Q(x, y) が

$$\frac{ \partial P}{ \partial y}(x,\ y)= \frac{ \partial Q}{ \partial x}(x,\ y) $$

を満たすとき

$$\int_{}{}P(x,\ y)dx+\int_{}{}\left[Q(x,\ y)-\frac{ \partial }{ \partial y} \left( \int_{}{}P(x,\ y)dx\right)\right]dy=C$$

が微分方程式の一般解になる。

\((2x+y)dx+(x+2y)dy=0\)の解法

P(x, y)=2x+y, Q(x, y)=x+2yとおくと

$$ \frac{ \partial P}{ \partial y} =1,\ \frac{ \partial Q}{ \partial x}=1$$

であり\(\frac{ \partial P}{ \partial y}= \frac{ \partial Q}{ \partial x}\)であるからこの微分方程式は完全形である。したがって

$$\int_{}{}P(x,\ y)dx ＝ x^2+xy$$

$$Q(x,\ y)-\frac{ \partial }{ \partial y}(x^2+xy)=x+2y-x=2y$$

$$\int_{}{}P(x,\ y)dx+\int_{}{} (2y)dy=x^2+xy+y^2$$

参考文献

完全微分形の一般解を導出する方法で求める方法

数学リファレンス

(x^2+3xy+2y^2)dy+(2x^2+3xy+y^2)dx=0の一般解

https://jikuu.site/invitation57-2-4other

\((x^2+3xy+2y^2)dy+(2x^2+3xy+y^2)dx=0\)を完全微分形の一般解を導出する方法で求める。完全微分形の一般解の導出$$P(x,y)= \frac{ \partial}{ \partial x}U(x,y),\ Q(x,y)= \frac{ \partial}{ \partial y}U(x,y)とする。$$$$dU(x,y)=\frac{ \partial U(x,y)}{ \partial x}dx+\frac{ \partial U(x,y)}{ \partial y}dy=0,\ U(x,y)=C\cdots①$$\(P(x,\ y)をxで積分する\)$$U(x,y)=\int_{}{}P(x,y)dx+C(y)\cdots②$$\(y\)で微分する$$\frac{ \partial}{ \partial y}U(x,y)=\frac{ \partial}{ \partial y}\left(\int_{}{}P(x,y)dx\right)+\f...