プログラム・数学リファレンス

(x^2+3xy+2y^2)dy+(2x^2+3xy+y^2)dx=0の解き方

\((x^2+3xy+2y^2)dy+(2x^2+3xy+y^2)dx=0\) は完全微分形ではないので積分因子\(\frac{1}{x+y}\)を掛ければ完全微分方程式

$$(2x+y)dx+(x+2y)dy=0$$

になる。

\((2x+y)dx+(x+2y)dy=0\) を解くのに必要な道具

完全微分形の一般解

完全微分形の一般解

1階の正規形の微分方程式

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0の P(x, y), Q(x, y) が

$$\frac{ \partial P}{ \partial y}(x,\ y)= \frac{ \partial Q}{ \partial x}(x,\ y) $$

を満たすとき

$$\int_{}{}P(x,\ y)dx+\int_{}{}\left[Q(x,\ y)-\frac{ \partial }{ \partial y} \left( \int_{}{}P(x,\ y)dx\right)\right]dy=C$$

が微分方程式の一般解になる。

\((2x+y)dx+(x+2y)dy=0\)の解法

P(x, y)=2x+y, Q(x, y)=x+2yとおくと

$$ \frac{ \partial P}{ \partial y} =1,\ \frac{ \partial Q}{ \partial x}=1$$

であり\(\frac{ \partial P}{ \partial y}= \frac{ \partial Q}{ \partial x}\)であるからこの微分方程式は完全形である。したがって

$$\int_{}{}P(x,\ y)dx = x^2+xy$$

$$Q(x,\ y)-\frac{ \partial }{ \partial y}(x^2+xy)=x+2y-x=2y$$

$$\int_{}{}P(x,\ y)dx+\int_{}{} (2y)dy=x^2+xy+y^2$$

参考文献