\((x^2+3xy+2y^2)dy+(2x^2+3xy+y^2)dx=0\) は完全微分形ではないので積分因子\(\frac{1}{x+y}\)を掛ければ完全微分方程式
$$(2x+y)dx+(x+2y)dy=0$$
になる。
\((2x+y)dx+(x+2y)dy=0\) を解くのに必要な道具
完全微分形の一般解
完全微分形の一般解
１階の正規形の微分方程式
P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0の P(x, y), Q(x, y) が
$$\frac{ \partial P}{ \partial y}(x,\ y)= \frac{ \partial Q}{ \partial x}(x,\ y) $$
を満たすとき
$$\int_{}{}P(x,\ y)dx+\int_{}{}\left[Q(x,\ y)-\frac{ \partial }{ \partial y} \left( \int_{}{}P(x,\ y)dx\right)\right]dy=C$$
が微分方程式の一般解になる。
\((2x+y)dx+(x+2y)dy=0\)の解法
P(x, y)=2x+y, Q(x, y)=x+2yとおくと
$$ \frac{ \partial P}{ \partial y} =1,\ \frac{ \partial Q}{ \partial x}=1$$
であり\(\frac{ \partial P}{ \partial y}= \frac{ \partial Q}{ \partial x}\)であるからこの微分方程式は完全形である。したがって
$$\int_{}{}P(x,\ y)dx ＝ x^2+xy$$
$$Q(x,\ y)-\frac{ \partial }{ \partial y}(x^2+xy)=x+2y-x=2y$$
$$\int_{}{}P(x,\ y)dx+\int_{}{} (2y)dy=x^2+xy+y^2$$
