プログラム・数学リファレンス

(x^2+3xy+2y^2)dy+(2x^2+3xy+y^2)dx=0の一般解

\((x^2+3xy+2y^2)dy+(2x^2+3xy+y^2)dx=0\)を完全微分形の一般解を導出する方法で求める。

完全微分形の一般解の導出

$$P(x,y)= \frac{ \partial}{ \partial x}U(x,y),\ Q(x,y)= \frac{ \partial}{ \partial y}U(x,y)とする。$$

$$dU(x,y)=\frac{ \partial U(x,y)}{ \partial x}dx+\frac{ \partial U(x,y)}{ \partial y}dy=0,\ U(x,y)=C\cdots①$$

\(P(x,\ y)をxで積分する\)

$$U(x,y)=\int_{}{}P(x,y)dx+C(y)\cdots②$$

\(y\)で微分する

$$\frac{ \partial}{ \partial y}U(x,y)=\frac{ \partial}{ \partial y}\left(\int_{}{}P(x,y)dx\right)+\frac{ \partial}{ \partial y}C(y)$$

$$\frac{ \partial}{ \partial y}\left(\int_{}{}P(x,y)dx\right)+\frac{ \partial}{ \partial y}C(y)=Q(x,y),\ \frac{ \partial}{ \partial y}C(y)=Q(x,y)-\frac{ \partial}{ \partial y}\left(\int_{}{}P(x,y)dx\right)$$

\(y\)で積分する

$$C(y)=\int_{}{}\left[Q(x,y)-\frac{ \partial}{ \partial y}\left(\int_{}{}P(x,y)dx\right)\right]dy$$

これと①を②に代入

$$\int_{}{}P(x,y)dx+\int_{}{}\left[Q(x,y)-\frac{ \partial}{ \partial y}\left(\int_{}{}P(x,y)dx\right)\right]dy=C$$

\((2x+y)dx+(x+2y)dy=0\)の一般解

\((x^2+3xy+2y^2)dy+(2x^2+3xy+y^2)dx=0\) は完全微分形ではないので積分因子\(\frac{1}{x+y}\)を掛ければ完全微分方程式

$$(2x+y)dx+(x+2y)dy=0になる。$$

\(P(x, y)=2x+y,\ Q(x, y)=x+2y\)とおくと

完全微分条件

$$ \frac{ \partial P}{ \partial y} =1,\ \frac{ \partial Q}{ \partial x}=1$$

であり\(\frac{ \partial P}{ \partial y}= \frac{ \partial Q}{ \partial x}\)であるからこの微分方程式は完全形である。

\(P(x,\ y)をxで積分する\)

$$\int_{}{}P(x,y)dx =\int_{}{}(2x+y)dx=x^2+xy+C(y)\cdots①$$

\(y\)で微分する

$$\frac{ \partial}{ \partial y}\left(x^2+xy+C(y)\right)=x+C'(y),\ x+C'(y)=x+2y,\ C'(y)=2y$$

\(y\)で積分する

$$C(y)=\int_{}{}2ydy=y^2$$

これを①に代入

$$U(x,y)=x^2+xy+y^2$$

参考文献