プログラム・数学リファレンス

dy/dx-3/2(y-a)^(1/3)=0の一般解と特異解

「\(\frac{dy}{dx}-\frac{3}{2}\sqrt[3]{y-a}=0\) の一般解と、それらの解曲線の包絡線である特異解を求めよ」という問題である。

\(\frac{dy}{dx}-\frac{3}{2}\sqrt[3]{y-a}=0\)の解法

\(\frac{dy}{dx}-\frac{3}{2}\sqrt[3]{y-a}=0\)の 一般解

$$\frac{dy}{dx}-\frac{3}{2}\sqrt[3]{y-a}=0$$

$$\frac{dy}{dx}= \frac{3}{2}(y-a)^{\frac{1}{3}} $$

$$(y-a)^{-\frac{1}{3}}dy= \frac{3}{2}dx$$

$$\int_{}{}(y-a)^{-\frac{1}{3}}dy= \int_{}{}\frac{3}{2}dx$$

$$\frac{3}{2}(y-a)^{\frac{2}{3}}= \frac{3}{2}x+A$$

$$(y-a)^{\frac{2}{3}}= x+C$$

$$(y-a)^2= (x+C)^3$$

$$ (x+C)^3-(y-a)^2=0$$

\(\frac{dy}{dx}-\frac{3}{2}\sqrt[3]{y-a}=0\)の特異解

変数分離形で分母が0になるのはy-a=0、すなわちy=aのときです。

y=aのとき

$$y(a)= \frac{d}{dx}(a)-\frac{3}{2}\sqrt[3]{a-a}=0$$

除外したy=aも解であるが一般解の任意定数Cに何を代入しても得られないので特異解である。

参考文献