(-xy sinx siny+x^2y)dy+(xy cosx cosy+xy^2)dx=0の 積分因子

2020年10月26日

(-xy sinx siny+x^2y)dy+(xy cosx cosy+xy^2)dx=0の 積分因子

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言葉の定義

全微分方程式

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0の形の方程式を全微分方程式という。

完全微分条件

P(x,y)dx+Q(x,y)dyがある関数の全微分になっている条件

$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$

積分因子

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0が完全微分条件をみたしていない場合

\(\frac{\partial \lambda P}{\partial y}=\frac{\partial \lambda Q}{\partial x}\)を満たすように\(\lambda(x,y)P(x,y)dx+\lambda(x,y) Q(x,y)dy=0\)と書きなおす。

この\(\lambda(x,y)\)を 積分因子 という。

\((-xy\ sin\ x\ sin\ y+x^2y)dy+(xy\ cos\ x\ cos\ y+xy^2)dx=0\)の積分因子

\(P=xy\ cos\ x\ cos\ y+xy^2,\ Q=-xy\ sin\ x\ sin\ y+x^2y\)とすると\(\frac{\partial P}{\partial y}\neq\frac{\partial Q}{\partial x}\)であるから、完全微分方程式ではない。

完全微分条件

$$\frac{\partial \lambda P}{\partial y}=\frac{\partial \lambda Q}{\partial x},\ \frac{\partial}{\partial y}(\lambda(xy\ cos\ x\ cos\ y+xy^2))=\frac{\partial}{\partial x}(\lambda(-xy\ sin\ x\ sin\ y+x^2y))$$

$$\frac{\partial\lambda }{\partial y}(xy\ cos\ x\ cos\ y+xy^2)+\lambda(x\ cos\ x\ cos\ y-xy\ cos\ x\ sin\ y+2xy)$$

$$=\frac{\partial\lambda}{\partial x}(-xy\ sin\ x\ sin\ y+x^2y)+\lambda(-y\ sin\ x\ sin\ y-xy\ cos\ x\ sin\ y+2xy)$$

$$(xy\ cos\ x\ cos\ y+xy^2)\frac{\partial\lambda }{\partial y}-(-xy\ sin\ x\ sin\ y+x^2y)\frac{\partial\lambda}{\partial x}$$

$$=-\lambda(x\ cos\ x\ cos\ y-xy\ cos\ x\ sin\ y+2xy+y\ sin\ x\ sin\ y+xy\ cos\ x\ sin\ y-2xy)$$

\(\lambda=x^my^n\)とおくと\(\frac{\partial \lambda}{\partial y}=nx^my^{n-1},\ \frac{\partial \lambda}{\partial x}=mx^{n-1}y^n\)

$$(xy\ cos\ x\ cos\ y+xy^2)nx^my^{n-1}-(-xy\ sin\ x\ sin\ y+x^2y)mx^{n-1}y^n$$

$$=-x^my^n(x\ cos\ x\ cos\ y+y\ sin\ x\ sin\ y)$$

$$nx^{m+1}y^ncos\ x\ cos\ y+nx^{m+1}y^{n+1}+mx^my^{n+1}sin\ x\ sin\ y-mx^{m+1}y^{n+1}$$

$$=-x^{m+1}y^ncos\ x\ cos\ y-x^my^{n+1}sin\ x\ sin\ y$$

係数を比較し

$$n=-1,\ m=-1,\ 積分因子\lambda=\frac{1}{xy}$$

参考文献

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