非斉次方程式の特殊解の計算が面倒だったので記事にしました。
\(x=-e^{2t}\int_{}{}3t^2e^{-2t}dt+te^{2t}\int_{}{}3te^{-2t}dt\)を解くのに必要な道具
部分積分
部分積分
$$\int_{}{}f(x)g(x)dx=f(x)G(x)-\int_{}{}f'(x)G(x)dx$$
\(x=-e^{2t}\int_{}{}3t^2e^{-2t}dt+te^{2t}\int_{}{}3te^{-2t}dt\)の解き方
$$x=-e^{2t}\int_{}{}3t^2e^{-2t}dt+te^{2t}\int_{}{}3te^{-2t}dt$$
$$=-e^{2t}\left(-\frac{3}{2}t^2 e^{-2t}+3\int_{}{}t e^{-2t}dt\right)+te^{2t}\left(-\frac{3}{2}te^{-2t}+\frac{3}{2}\int_{}{}e^{-2t}dt\right)$$
$$=-e^{2t}\left(-\frac{3}{2}t^2 e^{-2t}+3\left(-\frac{1}{2}te^{-2t}+\frac{1}{2}\int_{}{}e^{-2t}dt\right) \right)+te^{2t}\left(-\frac{3}{2}te^{-2t}-\frac{3}{4}e^{-2t}\right)$$
$$=-e^{2t}\left(-\frac{3}{2}t^2 e^{-2t}+3\left(-\frac{1}{2}te^{-2t}-\frac{1}{4}e^{-2t}\right) \right)+te^{2t}\left(-\frac{3}{2}te^{-2t}-\frac{3}{4}e^{-2t}\right)$$
$$=-e^{2t}\left(-\frac{3}{2}t^2 e^{-2t}-\frac{3}{2}te^{-2t}-\frac{3}{4}e^{-2t} \right)-\frac{3}{2}t^2-\frac{3}{4}t$$
$$=\frac{3}{2}t^2+\frac{3}{2}t+\frac{3}{4}-\frac{3}{2}t^2-\frac{3}{4}t=\frac{3}{4}t+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}(t+1)$$
