プログラム・数学リファレンス

∫∫∫V(|x|+|y|+|z|)dxdydzの解き方

\(\iiint_Vdxdydz\ V:|x|+|y|+|z|<=1\) の解き方が検索しても出てこなかったので記事にしました。

\(\iiint_Vdxdydz\ V:|x|+|y|+|z|<=1\)を解くのに必要な道具

絶対値記号のはずし方

絶対値記号のはずし方

(1) 中身がのとき
  そのまま外す。 |x| = x

(2) 中身がのとき
  中身に「−(マイナス)」をつけて外す。 |x| = −x

\(\iiint_Vdxdydz\ V:|x|+|y|+|z|<=1\)の解法

\(\iiint_Vdxdydz\ V:x+y+z<=1\)の解法

|x|,|y|,|z|の中身が全て正の場合

Vを満たす任意の座標(x,y,z)についてVの取り得る範囲は\(0\le z\le 1-x-y\)

zの積分範囲は[0→1-x-y]

上端の境界は x+y+z=1→ z=1-x-y

下端の境界は z=0

yの積分範囲は[0→1-x]

z=0のxy平面で

上端の境界は 0=1-x-y → y=1-x

下端の境界は y=0

xの積分範囲は[0→1]

上端の境界は 0=1-x → x=1

下端の境界は x=0

$$\iiint_Vdxdydz\ V:x+y+z<=1$$

$$=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1-x}\int_{0}^{1-x-y}(x+y+z)dz$$

$$=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1-x}dy[(x+y)z+\frac{z^2}{2}]^{z=1-x-y}_{z=0}$$

$$=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1-x}((x+y)(1-x-y)+\frac{(1-x-y)^2}{2})dy$$

$$=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1-x}\frac{1-x^2-2xy-y^2}{2}dy$$

$$=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1-x}( 1-x^2-2xy-y^2 )dy$$

$$= \frac{1}{2} \int_{0}^{1}dx[(1-x^2)y-xy^2-\frac{y^3}{3}]^{y=1-x}_{y=0}$$

$$= \frac{1}{2} \int_{0}^{1}((1-x)(1+x)(1-x)-x(1-x)^2-\frac{(1-x)^3}{3})dx$$

$$= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{(1-x)^2}{3}(3(1+x)-3x-(1-x))dx$$

$$= \frac{1}{6} \int_{0}^{1} (1-x)^2(2+x)dx$$

置換積分

1-x=tとおくと、\(x=1-t,\ \frac{dx}{dt}=-1,\ dx=-dt\)

x=0のときt=1、x=1のときt=0なので

$$\frac{1}{6} \int_{0}^{1} (1-x)^2(2+x)dx= \frac{1}{6} \int_{1}^{0} t^2(3-t)(-dt)= \frac{1}{6} \int_{0}^{1} (3t^2-t^3)dt= \frac{1}{6} [t^3-\frac{t^4}{4}]^{1}_{0}= \frac{1}{6 }\times\frac{3}{4}=\frac{1}{8}$$

(x+y+z)の重積分の結果

絶対値を外すときの組み合わせは8通り

|x|の外し方(2通り)× |y|の外し方(2通り) × |z|の外し方(2通り) =8通り

x軸およびy軸に対称な積分領域

x軸およびy軸に対称な積分領域

\(\iiint_Vdxdydz\ V:|x|+|y|+|z|<=1\)の解法

x,y,zについての対称性から

$$\iiint_Vdxdydz\ V:|x|+|y|+|z|<=1$$

$$=8\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1-x}\int_{0}^{1-x-y}(x+y+z)dz$$

$$=8\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1-x}dy[xz+yz+\frac{z^2}{2}]^{z=1-x-y}_{z=0}$$

$$=8\int_{0}^{1}dx(-\frac{1}{2}x^2-xy+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}y^2)dy$$

$$=8\int_{0}^{1}[-\frac{1}{2}x^2y-\frac{1}{2}xy^2+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y^3]^{y=1-x}_{y=0}dx$$

$$=8\int_{0}^{1}(\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}x)dx$$

$$=8[\frac{1}{24}x^4+\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}x^2]^{1}_{0}$$

$$=8(\frac{1}{24}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4})$$

$$=8 \times \frac{1}{8}$$

$$=1$$

正八面体

参考文献