\(\iint_D\sqrt{x^2 + y^2}dxdy\ D:x\ge 0,\ y\ge 0,\ x^2+y^2\le1,\ x^2+y^2\ge x\) の解き方が検索しても出てこなかったので記事にしました。
\(\iint_D\sqrt{x^2 + y^2}dxdy\ D:x\ge 0,\ y\ge 0,\ x^2+y^2\le 1,\ x^2+y^2\ge x\)を解くのに必要な道具
- 平面上の極座標変換
- 三倍角の公式
平面上の極座標変換
α,βは\(0\le \beta-\alpha\le2\pi \)を満たし、[α,β]で定義されたθの連続関数φ1(θ)とφ2(θ)が、この区間で \(0\le \varphi _{1} ( \theta ) \le \varphi _{2} ( \theta ) \) を満たすとする。このとき単純角領域
$$K=((rcos \theta ,rsin \theta )| \ \alpha \le\theta \le \beta , \ \varphi _{1} ( \theta ) \le r \le \varphi _{2} ( \theta ) )$$
で定義された連続関数f(x,y)に対して
$$\iint_K f(x,y)dxdy=\int_{ \alpha }^{ \beta }d \theta \int_{ \varphi _{1} ( \theta ) }^{ \varphi _{2} ( \theta ) }f(rcos \theta ,rsin \theta )rdr$$
となる。
三倍角の公式
$$cos3 \theta =4cos^{3 }\theta-3cos \theta $$
導出
$$cos3\theta=cos(2\theta+\theta)=cos2\theta cos\theta-sin2\theta sin\theta[加法定理]$$
$$=(2cos^{2}\theta-1)cos\theta-2sin\theta cos\theta sin\theta[2倍角の公式]$$
$$=2cos^{3}\theta-cos\theta-2sin^{2}\theta cos\theta=2cos^{3}\theta-cos\theta-2(1-cos^{2}\theta)cos\theta=4cos^{3}\theta-3cos\theta$$
\(\iint_D\sqrt{x^2 + y^2}dxdy\ D:x\ge 0,\ y\ge 0,\ x^2+y^2\le 1,\ x^2+y^2\ge x\) の解法
積分領域
$$x^2+y^2\ge x,\ x^2-x+y^2\ge0,\ \left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2+y^2\ge0,\ \left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2\ge\left(\frac{1}{2}\right)^2$$
$$x^2+y^2\ge x,\ r^2\ge rcos\theta,\ r\ge cos\theta$$
$$0\le\theta\le \frac{\pi}{2},\ cos\theta\le r\le 1$$
\(\iint_D\sqrt{x^2 + y^2}dxdy\ D:x\ge 0,\ y\ge 0,\ x^2+y^2\le 1,\ x^2+y^2\ge x\) の解法
極座標に変換
$$\iint_D\sqrt{x^2 + y^2}dxdy=\iint_R\sqrt{r^2}rdrd\theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{cos\theta }^{1}r^2dr=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\left[\frac{r^2}{3}\right]^1_{cos\theta}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{1}{3}-\frac{cos^3\theta}{3}\right)d\theta$$
$$=\frac{1}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-cos^3\theta)d\theta=\frac{1}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(1-\frac{1}{4}cos3\theta-\frac{3}{4}cos\theta\right)d\theta=\frac{1}{3} \left[\theta-\frac{1}{12}sin3\theta-\frac{3}{4}sin\theta\right]^\frac{\pi}{2}_{0}$$
$$=\frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{12}-\frac{9}{12}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{8}{12}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{2}{3}\right)$$
