∫∫D√(x^2 + y^2)dxdy D:x>= 0, y>=0, x^2+y^2=xの解き方

$\iint_D\sqrt{x^2 + y^2}dxdy\ D:x\ge 0,\ y\ge 0,\ x^2+y^2\le1,\ x^2+y^2\ge x$ の解き方が検索しても出てこなかったので記事にしました。

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$\iint_D\sqrt{x^2 + y^2}dxdy\ D:x\ge 0,\ y\ge 0,\ x^2+y^2\le 1,\ x^2+y^2\ge x$を解くのに必要な道具

平面上の極座標変換
三倍角の公式

平面上の極座標変換

α,βは$0\le \beta-\alpha\le2\pi $を満たし、[α,β]で定義されたθの連続関数φ1(θ)とφ2(θ)が、この区間で $0\le \varphi _{1} ( \theta ) \le \varphi _{2} ( \theta ) $ を満たすとする。このとき単純角領域

$$K=((rcos \theta ,rsin \theta )| \ \alpha \le\theta \le \beta , \ \varphi _{1} ( \theta ) \le r \le \varphi _{2} ( \theta ) )$$

で定義された連続関数f(x,y)に対して

$$\iint_K f(x,y)dxdy=\int_{ \alpha }^{ \beta }d \theta \int_{ \varphi _{1} ( \theta ) }^{ \varphi _{2} ( \theta ) }f(rcos \theta ,rsin \theta )rdr$$

となる。

三倍角の公式

$$cos3 \theta =4cos^{3 }\theta-3cos \theta $$

導出

$$cos3\theta=cos(2\theta+\theta)=cos2\theta cos\theta-sin2\theta sin\theta[加法定理]$$

$$=(2cos^{2}\theta-1)cos\theta-2sin\theta cos\theta sin\theta[2倍角の公式]$$

$$=2cos^{3}\theta-cos\theta-2sin^{2}\theta cos\theta=2cos^{3}\theta-cos\theta-2(1-cos^{2}\theta)cos\theta=4cos^{3}\theta-3cos\theta$$

$\iint_D\sqrt{x^2 + y^2}dxdy\ D:x\ge 0,\ y\ge 0,\ x^2+y^2\le 1,\ x^2+y^2\ge x$ の解法

積分領域

$$x^2+y^2\ge x,\ x^2-x+y^2\ge0,\ \left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2+y^2\ge0,\ \left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2\ge\left(\frac{1}{2}\right)^2$$

$$x^2+y^2\ge x,\ r^2\ge rcos\theta,\ r\ge cos\theta$$

$$0\le\theta\le \frac{\pi}{2},\ cos\theta\le r\le 1$$

$\iint_D\sqrt{x^2 + y^2}dxdy\ D:x\ge 0,\ y\ge 0,\ x^2+y^2\le 1,\ x^2+y^2\ge x$ の解法

極座標に変換

$$\iint_D\sqrt{x^2 + y^2}dxdy=\iint_R\sqrt{r^2}rdrd\theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{cos\theta }^{1}r^2dr=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\left[\frac{r^2}{3}\right]^1_{cos\theta}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{1}{3}-\frac{cos^3\theta}{3}\right)d\theta$$

$$=\frac{1}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-cos^3\theta)d\theta=\frac{1}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(1-\frac{1}{4}cos3\theta-\frac{3}{4}cos\theta\right)d\theta=\frac{1}{3} \left[\theta-\frac{1}{12}sin3\theta-\frac{3}{4}sin\theta\right]^\frac{\pi}{2}_{0}$$

$$=\frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{12}-\frac{9}{12}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{8}{12}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{2}{3}\right)$$