プログラム・数学リファレンス

∫∫∫Vdxdydz V:x^2+y^2+z^2<=a^2, x^2+y^2<=b^2, (a>b>0)の解き方

\(\iiint_V dxdydz\ V:x^2+y^2+z^2\le a^2,\ x^2+y^2\le b^2\ (a>b>0)\)の解き方

\(\iiint_V dxdydz\ V:x^2+y^2+z^2\le a^2,\ x^2+y^2\le b^2\ (a>b>0)\)を解くのに必要な道具

二変数関数の極座標変換

二変数関数の極座標変換

α,βは\(0\le \beta-\alpha\le2\pi \)を満たし、[α,β]で定義されたθの連続関数φ1(θ)とφ2(θ)が、この区間で \(0\le \varphi _{1} ( \theta ) \le \varphi _{2} ( \theta ) \) を満たすとする。このとき単純角領域

$$K=((rcos \theta ,rsin \theta )| \ \alpha \le\theta \le \beta , \ \varphi _{1} ( \theta ) \le r \le \varphi _{2} ( \theta ) )$$

で定義された連続関数f(x,y)に対して

$$\iint_K f(x,y)dxdy=\int_{ \alpha }^{ \beta }d \theta \int_{ \varphi _{1} ( \theta ) }^{ \varphi _{2} ( \theta ) }f(rcos \theta ,rsin \theta )rdr$$

となる。

\(\iiint_V dxdydz\ V:x^2+y^2+z^2\le a^2,\ x^2+y^2\le b^2\ (a>b>0)\)の解法

積分範囲

成分範囲

$$z=\pm\sqrt{a^2-x^2-y^2},\ -\sqrt{a^2-x^2-y^2}\le z\le \sqrt{a^2-x^2-y^2}$$

積分範囲

$$\int_{-\sqrt{a^2-r^2}}^\sqrt{a^2-r^2}dz=[z]_{-\sqrt{a^2-r^2}}^\sqrt{a^2-r^2}=2\sqrt{a^2-r^2}$$

\(D=\{(x,\ y)|x^2+y^2\le b^2\}\)とすると

積分範囲

\(\iint_D 2\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy\ D:x^2+y^2\le b^2\ (a>b>0)\)の解法

$$\iint_D 2\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\int_0^{2\pi}d\theta \int_0^b 2\sqrt{a^2-r^2}rdr=4\pi\int_0^b (a^2-r^2)^{\frac{1}{2}}(a^2-r^2)’dr$$

$$=4\pi\left(-\frac{1}{2}\right)\left[\frac{2}{3}(a^2-r^2)^{\frac{3}{2}}\right]_0^b=-2\pi\left(\frac{2}{3}(a^2-b^2)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}a^3\right)=\frac{4}{3}\pi\left(a^3-(a^2-b^2)^{\frac{3}{2}}\right)$$

参考文献