複素数平面上の2つの円の交点を求め方

複素数平面上の2つの円\(|w-1|=1と\left|w-\frac{1+i}{4}\right|=\frac{\sqrt{2}}{4}\)の交点の求め方

数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。

複素数平面上の2つの円の交点を求めるのに必要な道具

  1. 共役複素数の性質
  2. 複素数の絶対値の性質

共役複素数の性質

$$\overline{\alpha-\beta}=\overline{\alpha}-\overline{\beta}$$

複素数の絶対値の性質

$$|z|^2=z\cdot \overline{z}$$

複素数平面上の2つの円\(|w-1|=1と\left|w-\frac{1+i}{4}\right|=\frac{\sqrt{2}}{4}\)の交点の求め方

2乗して連立方程式を解く

$$\left\{ \begin{array}{l} (w-1)(\overline{w}-1)=1 \\ (w-\frac{1+i}{4})(\overline{w}-\frac{1-i}{4})=\frac{2}{16} \end{array} \right.$$

\((w-1)(\overline{w}-1)=1\)

$$w\overline{w}-w-\overline{w}=0\cdots①$$

\((w-\frac{1+i}{4})(\overline{w}-\frac{1-i}{4})=\frac{2}{16}\)

$$w\overline{w}-\frac{1-i}{4}w-\frac{1+i}{4}\overline{w}=0\cdots②$$

①-②

$$\frac{-3-i}{4}w+\frac{-3+i}{4}\overline{w}=0,\ \frac{-3+i}{4}\overline{w}=-\frac{-3-i}{4}w,\ \overline{w}=-\frac{-3-i}{-3+i}w$$

$$\overline{w}=-\frac{9-1+6i}{10}w=\frac{-4-3i}{5}w$$

①へ代入

$$\frac{-4-3i}{5}w^2-w-\frac{-4-3i}{5}w=0,\ w^2-\frac{5}{-4-3i}w-w=0,\ w^2-\frac{-20+15i}{25}w-\frac{25}{25}w=0$$

$$\ w^2-\frac{5+15i}{25}w=0,\ w^2-\frac{1+3i}{5}w=0,\ w\left(w-\frac{1+3i}{5}\right)=0$$

\(|w-1|=1と\left|w-\frac{1+i}{4}\right|=\frac{\sqrt{2}}{4}\)の交点は

$$(0,\ 0),\ \left(\frac{1}{5},\ \frac{3i}{5}\right)$$

複素数平面上の2つの円の交点

参考文献

複素数平面上における中心(1, 0)半径1の円周上の点(1/5, (3i/5)における円の接線の方程式

独学で大学数学の解析入門を勉強しています!