lim[z->1+i](z^2-iz-1-i)/(z^2-2i)の解き方

$\displaystyle \lim_{z \to 1+i}\frac{z^2-iz-1-i}{z^2-2i}$ の解き方が検索しても出てこなかったので記事にしました。

$\displaystyle \lim_{z \to 1+i}\frac{z^2-iz-1-i}{z^2-2i}$を解くのに必要な道具

因数定理

「多項式f(x)が因数として(x-a)をもつ⇔f(a)=0」が成立するという定理

$$\displaystyle \lim_{z \to 1+i}\frac{z^2-iz-1-i}{z^2-2i}$$

単純にzに1+iを代入すると、分子・分母ともに0($\frac{0}{0}$の不定形)になってしまいます。

分子・分母ともに1+iを代入すると0になるので因数として(z-1-i)を持ちます。

$$\displaystyle \lim_{z \to 1+i}\frac{z^2-iz-1-i}{z^2-2i}$$

$$=\displaystyle \lim_{z \to 1+i}\frac{(z-1-i)(z+1)}{(z-1-i)(z+1+i)}$$

$$=\displaystyle \lim_{z \to 1+i}\frac{z+1}{z+1+i}$$

$$=\frac{2+i}{2+2i}$$

$$=\frac{(2+i)(2-2i)}{(2+2i)(2-2i)}$$

$$=\frac{6-2i}{4+4}$$

$$=\frac{6-2i}{8}$$

$$=\frac{3-i}{4}$$

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