\(\displaystyle \lim_{z \to 1+i}\frac{z^2-iz-1-i}{z^2-2i}\) の解き方が検索しても出てこなかったので記事にしました。
\(\displaystyle \lim_{z \to 1+i}\frac{z^2-iz-1-i}{z^2-2i}\)を解くのに必要な道具
因数定理
因数定理
「多項式f(x)が因数として(x-a)をもつ⇔f(a)=0」が成立するという定理
\(\displaystyle \lim_{z \to 1+i}\frac{z^2-iz-1-i}{z^2-2i}\)の解法
$$\displaystyle \lim_{z \to 1+i}\frac{z^2-iz-1-i}{z^2-2i}$$
単純にzに1+iを代入すると、分子・分母ともに0(\(\frac{0}{0}\)の不定形)になってしまいます。
因数定理
分子・分母ともに1+iを代入すると0になるので因数として(z-1-i)を持ちます。
- 分子：\((z^2-iz-1-i)\div(z-1-i)=z+1\)
- 分母：\((z^2-2i)\div(z-1-i)=z+1+i\)
\(\displaystyle \lim_{z \to 1+i}\frac{z^2-iz-1-i}{z^2-2i}\)の解法
$$\displaystyle \lim_{z \to 1+i}\frac{z^2-iz-1-i}{z^2-2i}=\displaystyle \lim_{z \to 1+i}\frac{(z-1-i)(z+1)}{(z-1-i)(z+1+i)}=\displaystyle \lim_{z \to 1+i}\frac{z+1}{z+1+i}$$
$$=\frac{2+i}{2+2i}=\frac{(2+i)(2-2i)}{(2+2i)(2-2i)}=\frac{6-2i}{4+4}=\frac{6-2i}{8}=\frac{3-i}{4}$$
参考文献
リンク
