プログラム・数学リファレンス

f”(z)+f(z)=0の解き方

\(f”(z)+f(z)=0\)を解くのに必要な道具

三角関数のマクローリン展開

三角関数のマクローリン展開

$$cos\ z=1-\frac{1}{2!}z^2+\frac{1}{4!}z^4-\cdots+(-1)^n\frac{1}{(2n)!}z^{2n}+\cdots$$

$$sin\ z=z-\frac{1}{3!}z^3+\frac{1}{5!}z^5-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{(2n-1)!}z^{2n-1}+\cdots$$

\(f”(z)+f(z)=0\)の解法

級数を\(y=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n z^n\)とすると\(y’=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty nc_n z^{n-1},\ y”=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty n(n-1)c_n z^{n-2}\)

与式より

$$2\cdot1c_2+3\cdot2c_3z+4\cdot3c_4z^2+5\cdot4c_5z^3+6\cdot5c_6z^4+\cdots$$

$$=-c_0-c_1z-c_2z^2-c_3z^3-c_4z^4+\cdots$$

より

  • \(2\cdot1c_2=-c_0,\ c_2=-\frac{1}{2!}c_0\)
  • \(4\cdot3c_4=-c_2,\ c_4=\frac{1}{4\cdot3}c_2=\frac{1}{4!}c_0\)
  • \(c_{2m}=\frac{(-1)^m}{(2m)!}c_0\)
  • \(3\cdot2c_3=-c_1,\ c_3=-\frac{1}{3!}c_1\)
  • \(5\cdot4c_5=-c_3,\ c_5=\frac{1}{5\cdot4}c_3=\frac{1}{5!}c_1\)
  • \(c_{2m+1}=\frac{(-1)^m}{(2m+1)!}c_1\)

\(f”(z)+f(z)=0\)の一般解

$$y=c_0\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m}{(2m)!}z^{2m}+c_1\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m}{(2m+1)!}z^{2m+1}=c_0\ cos\ z+c_1\ sin\ z$$

参考文献