∫(C)Imzdz C:|z-1|=1 の解き方 複素積分

2021年1月9日

∫(C)Imzdz C:|z-1|=1 を解くのに必要な道具

数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。

\(\int_{C}{}Im\ z\ dz\ C:|z-1|=1\)を解くのに必要な道具 ∫(C)Imzdz C:|z-1|=1 を解くのに必要な道具

複素数の虚部

複素数α=a+biのbをαの虚部といいImαで表す。

中心がαで半径がRの円周を反時計回りに回る単一閉曲線

$$C:z(t)=\alpha+Re^{it}\ (0\le t\le 2\pi)$$

\(\int_CIm\ z\ dz\ C:|z-1|=1\)の解法 ∫(C)Imzdz C:|z-1|=1 の解法

\(|z-1|=1\)

1を中心とする半径1の円周上の点は、\(z =1+e^{i\theta}\ (0\le \theta\le 2\pi)\)で表される。

\(\frac{dz}{d\theta}=ie^{i\theta}\)

\(dz=ie^{i\theta}d\theta\)

\(\int_CIm\ z\ dz\)

$$=\int_0^{2\pi}sin\theta ie^{i\theta}d\theta=\int_0^{2\pi}sin\theta i(cos\theta+isin\theta)=\int_0^{2\pi}(-sin^2\theta+i\ sin \theta cos\theta)d\theta$$

倍角の公式

$$cos2\theta=-2sin^2\theta+1,\ -2sin^2\theta=cos2\theta-1,\ -sin^2\theta=\frac{1}{2}(cos2\theta-1)$$

\(\int_CIm\ z\ dz\)

$$=\int_0^{2\pi}\frac{1}{2}((cos2\theta-1)+i\ sin^2\theta)d\theta=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}(cos2\theta+i\ sin^2\theta-1)d\theta$$

$$=\frac{1}{4}[sin2\theta-i\ cos2\theta-2\theta]^{2\pi}_0=\frac{1}{4}(-i-4\pi-(-i))=-\pi$$

参考文献

検索しても計算過程が見つからない場合

検索しても計算過程が見つからない場合ココナラ を利用してみてはいかがでしょうか。

ココナラ 登録方法

会員登録しなくてもサービスの検索はできます。

サービスの購入・出品には会員登録が必要です

ココナラ 登録方法
ココナラ 登録方法 会員登録しなくてもサービスの検索はできます。 サービスの購入・出品には会員登録が必要です。 ココナラ 登録方法 会員登録をクリックメールアド…
jikuu.site

スタディサプリ進路 社会人向け の 使い方

スタディサプリ進路 社会人向け の 使い方
スタディサプリ進路 社会人向け の 使い方 スタディサプリ進路 社会人向け の 使い方 スタディサプリ進路 社会人向けで社会人が数学を学べる大学を検索してみます…
jikuu.site

独学で大学数学の解析入門を勉強しています!

独学 で大学数学の 解析入門 を勉強しています!
独学 で大学数学の 解析入門 を勉強 したいと思ったことありませんか? 実は、僕も大学数学の 解析入門 を 独学 で学びたいと思い勉強を始めました。 結果、放送…
jikuu.site