数学リファレンス

∫(C)Imzdz C:|z-1|=1の解き方

\(\int_{C}{}Im\ z\ dz\ C:|z-1|=1\)を解くのに必要な道具

  1. 複素数の虚部
  2. 中心が\(\alphaで半径がR\)の円周を反時計回りに回る単一閉曲線

複素数の虚部

複素数\(\alpha=a+biのbを\alphaの虚部といいIm\ \alpha\)で表す。

中心が\(\alphaで半径がR\)の円周を反時計回りに回る単一閉曲線

$$C:z(t)=\alpha+Re^{it}\ (0\le t\le 2\pi)$$

\(\int_CIm\ z\ dz\ C:|z-1|=1\)の解法

\(|z-1|=1\)

1を中心とする半径1の円周上の点は、\(z =1+e^{i\theta}\ (0\le \theta\le 2\pi)\)で表される。

\(\frac{dz}{d\theta}=ie^{i\theta}\)

\(dz=ie^{i\theta}d\theta\)

\(\int_CIm\ z\ dz\)

$$=\int_0^{2\pi}sin\theta ie^{i\theta}d\theta=\int_0^{2\pi}sin\theta i(cos\theta+isin\theta)=\int_0^{2\pi}(-sin^2\theta+i\ sin \theta cos\theta)d\theta$$

倍角の公式

$$cos2\theta=-2sin^2\theta+1,\ -2sin^2\theta=cos2\theta-1,\ -sin^2\theta=\frac{1}{2}(cos2\theta-1)$$

\(\int_CIm\ z\ dz\)

$$=\int_0^{2\pi}\frac{1}{2}((cos2\theta-1)+i\ sin^2\theta)d\theta=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}(cos2\theta+i\ sin^2\theta-1)d\theta$$

$$=\frac{1}{4}[sin2\theta-i\ cos2\theta-2\theta]^{2\pi}_0=\frac{1}{4}(-i-4\pi-(-i))=-\pi$$

参考文献