∫C(z-3)/(z^2-2z+5)dz C:|z-1+i|=2の解き方

\(\int_C\frac{z-3}{z^2-2z+5}dz\ C:|z-1+i|=2\) の解き方が検索しても出てこなかったので記事にしました。

※数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。

\(\int_C\frac{z-3}{z^2-2z+5}dz\ C:|z-1+i|=2\) を解くのに必要な道具

1. b’を使う2次方程式の解の公式
2. 積分路の変更原理
3. コーシーの積分公式：一般の場合

b’を使う2次方程式の解の公式

2次方程式\(a x^2+2b’x +c=0\)の解は

$$x=\frac{-b’ \pm \sqrt{b’^2-ac}}{a}$$

xの係数が偶数（２の倍数）のとき計算が楽になる。

積分路の変更原理

関数f(z)は領域Dで正則とする。単一閉曲線Cの中に単一閉曲線\(C_1\)があってCと \(C_1\) の間の領域はDの点のみからなるとする。このとき

$$\int_C f(z)dz=\int_{C_1} f(z)dz$$

が成り立つ。

コーシーの積分公式：一般の場合

\(\partial D\)は有限個の区分的に滑らかな単一閉曲線からなり、f(z)は\(\overline D\)を含む領域で正則とする。このとき

$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_ {\partial D}\frac{f( \varsigma)}{\varsigma-z}d\varsigma\ (z\in D)$$

が成り立つ。

\(\int_C\frac{z-3}{z^2-2z+5}dz\ C:|z-1+i|=2\) の解法

\(z^2-2z+5\)の因数分解

$$z=1\pm \sqrt{1-5}=1\pm \sqrt{-4}=1\pm2i$$

$$z^2-2z+5=(z-1-2i)(z-1+2i)$$

z=1+2iは円|z-1+i|=2の外

積分路の変更

\(C_1=\{z| |z-1+2i|=\frac{1}{2}\}\)とすれば

$$\int_C\frac{z-3}{z^2-2z+5}dz=\int_{C_1}\frac{z-3}{z^2-2z+5}dz$$

となる。

コーシーの積分公式：一般の場合

\(f(z)=\frac{z-3}{z-1-2i}\)とすると

$$ \int_{C_1}\frac{z-3}{z^2-2z+5}dz= \int_{C_1}\frac{f(z)}{z-1+2i}dz=2\pi i f(1-2i)=2\pi i\left(\frac{-2-2i}{-4i}\right)=\pi(1+i)$$

参考文献

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