プログラム・数学リファレンス

∫[0,∞]xsinx/(1+x^2)dxの解き方

\(\int_{0}^{ \infty }\frac{x\ sinx}{1+x^2}dx\)の解き方が検索しても正しい解法が出てこなかったので記事にしました。

\(\int_{0}^{ \infty }\frac{x\ sinx}{1+x^2}dx\)を解くのに必要な道具

  1. 偶関数・奇関数の定積分の性質
  2. 複素数の絶対値の外し方
  3. ジョルダンの不等式
  4. その他

偶関数・奇関数の定積分の性質

f(x)が偶関数のとき

$$\int_{-a}^a f(x)dx=2\int_0^a f(x)dx$$

f(x)が奇関数のとき

$$\int_{-a}^a f(x)dx=0$$

偶関数・奇関数の積

  • 奇関数×奇関数=偶関数
  • 奇関数×偶関数=奇関数
  • 偶関数×偶関数=偶関数

複素数の絶対値の外し方

|i|

i=0+1・iなので

$$|i|=\sqrt {0^2+1^2}=1$$

\(|e^z|\)

$$|e^z|=|e^{x+iy}|=|e^x \cdot e^{iy}|=|e^x||e^{iy}|=e^x \cdot 1=e^x$$

$$|e^{iy}|=\sqrt{|e^{iy}|^2}=\sqrt{(e^{iy})\overline{(e^{iy})}}=\sqrt{(cosy+i\ siny)(cosy-i\ siny)}$$

$$=\sqrt{cos^2y+sin^2y}=1\cdots①$$

\(|e^{iRcos\ \theta}|\)

$$|e^{iRcos\theta}|=\sqrt{|e^{iRcos\theta}|^2}=\sqrt{(e^{iRcos\theta})\overline{(e^{iRcos\theta})}}=\sqrt{(e^{iRcos\theta})(e^{-iRcos\theta})}=\sqrt{e^0}=1\cdots②$$

ジョルダンの不等式

$$sin\theta\ge\frac{2\theta}{\pi}$$

ジョルダンの不等式

その他

$$R^2-1=|R^2e^{2i\theta}+1-1|-1(①より)$$

$$\le|R^2e^{2i\theta}+1|+1-1=|1+R^2e^{2i\theta}|$$

\(\int_{0}^{ \infty }\frac{x\ sinx}{1+x^2}dx\) の解法

\(C_1\):-R->R の計算

複素積分

\(f(z)=\frac{ze^{iz}}{1+z^2}\)を\(C_1\):-R->R、\(C_2\):原点中心の半径Rの上半径を反時計回りに積分する。

$$\int_{C_1}f(z)dz=\int_{-R}^{R}\frac {x\ e^{ix}}{1+x^2}dx=\int_{-R}^{R}\frac {x\ cosx}{1+x^2}dx+i \int_{-R}^{R}\frac {x\ sinx}{1+x^2}dx = i \int_{-R}^{R}\frac {x\ sinx}{1+x^2}dx $$

\(C_2\) :原点中心の半径Rの上半径を反時計回りに積分

\(f(z)=\frac{ze^{iz}}{1+z^2}\)を\(C_1\):-R->R、\(C_2\):原点中心の半径Rの上半径を反時計回りに積分する。

複素積分

\(C_2\)上の点を\(z=Re^{i \theta }\)とすると\(dz=i Re^{i\theta}d\theta\)

$$\int_{C_2}\left|\frac{ze^{iz}}{1+z^2}dz\right|=\int_{0}^{\pi}\left|\frac{Re^{i\theta}e^{iRe^{i\theta}}}{1+R^2e^{i2\theta}}iRe^{i\theta}d\theta\right|=\int_{0}^{\pi}\frac{R^2|e^{iRe^{i\theta}}|}{|1+R^2|}d\theta =\int_{0}^{\pi}\frac{R^2|e^{iRcos\theta-Rsin\theta}|}{|1+R^2|}d\theta$$

$$\le \frac{2R^2}{R^2-1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{-Rsin\theta}d\theta(②より)$$

$$\le \frac{2R^2}{R^2-1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{-R\frac{2\theta}{\pi}}d\theta=\frac{2R^2}{R^2-1} \left[-\frac{\pi}{2R}e^{\frac{-2R}{\pi}\theta}\right]^\frac{\pi}{2}_0=\frac{2R^2}{R^2-1} \left(-\frac{\pi}{2R}e^{-R}+ \frac{\pi}{2R}\right) $$

$$ \lim_{R \to \infty} \frac{2R^2}{R^2-1} \left(-\frac{\pi}{2R}e^{-R}+ \frac{\pi}{2R}\right)=0 $$

\(\int_{0}^{ \infty }\frac{x\ sinx}{1+x^2}dx\) の解法

$$\int_{0}^{ \infty }\frac{x\ sinx}{1+x^2}dx=\frac{1}{2}\int_{- \infty }^{ \infty }\frac{x\ sinx}{1+x^2}dx=\frac{1}{2i}\int_{- \infty }^{ \infty }\frac{xe^{ix}}{1+x^2}dx$$

$$=\frac{1}{2i} 2\pi i Res f(z)=\pi[(z-i)f(z)]_{z=i}=\pi\frac{ie^{-1}}{2i}=\frac{\pi}{2e}$$

参考文献