プログラム・数学リファレンス

∫[-∞->∞]1/(1+x^2)^2dxの解き方

\(\int_{- \infty }^{ \infty }\frac{1}{(1+x^2)^2}dx\)の解き方が検索しても出てこなかったので記事にしました。

\(\int_{- \infty }^{ \infty }\frac{1}{(1+x^2)^2}dx\) を解くのに必要な道具

  1. 留数の原理を用いた定積分の計算
  2. m位の極留数

留数の原理を用いた定積分の計算

関数f(z)は上半平面\(Im\ z \ge 0\)で、実軸上にない有限個の極\( \alpha _1, \alpha_2,\cdots, \alpha_ n\)を除いて正則で

$$\lim_{z \to \infty}z f(z)=0$$

とする。このとき

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=2\pi i\sum_{l=1}^{n}Res_{z=\alpha l} \ f(z)$$

である。

m位の極の留数

$$Res_{z=\alpha}\ f(z)=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z \to \alpha}\frac{d^{m-1}(z-\alpha)^m f(z)}{dz^{m-1}}$$

\(\int_{- \infty }^{ \infty }\frac{1}{(1+x^2)^2}dx\)の解法

\((1+z^2)^2=(z-i)^2(z+i)^2\)よりz=iは2位の極である。

2位の極

よって

$$Res_{z=i}\ \frac{1}{(z^2+1)^2}$$

$$ =\left[ \frac{d}{dz}\left((z-i)^2\frac{1}{(z^2+1)^2} \right ) \right] _{z=i}$$

$$ =\left[ \frac{d}{dz}\frac{1}{(z+i)^2}\right] _{z=i}$$

$$=\left[\frac{-2(z+i)}{(z+i)^4}\right]_{z=i}$$

$$=\left[\frac{-2}{(z+i)^3}\right]_{z=i}$$

$$=\frac{-2}{(2i)^3}$$

$$=\frac{2}{8i}$$

$$=\frac{1}{4i}$$

\(\int_{- \infty }^{ \infty }\frac{1}{(1+x^2)^2}dx\)の解法

また、\( \displaystyle \lim_{z \to \infty }z\frac{1}{(z^2+1)^2}=0\)である。以上のことから

$$ \int_{- \infty }^{ \infty }\frac{1}{(1+x^2)^2}dx=2 \pi i \left(\frac{1}{4i}\right)=\frac{\pi}{2}$$

参考文献