∫[-∞→∞] (1/(1+x^2)^2)dx の解き方

2019年11月15日

∫[-∞→∞](1/(1+x^2)^2)dx を解くのに必要な道具

\(\int_{- \infty }^{ \infty }\frac{1}{(1+x^2)^2}dx\)の解き方が検索しても出てこなかったので記事にしました。

数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。

\(\int_{- \infty }^{ \infty }\frac{1}{(1+x^2)^2}dx\)を解くのに必要な道具 ∫[-∞→∞](1/(1+x^2)^2)dx を解くのに必要な道具

留数の原理を用いた定積分の計算

関数f(z)は上半平面Imz≧0で、実軸上にない有限個の極\( \alpha _1, \alpha_2,\cdots, \alpha_ n\)を除いて正則で

$$\lim_{z \to \infty}z f(z)=0$$

とする。このとき

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=2\pi i\sum_{l=1}^{n}Res_{z=\alpha l} \ f(z)$$

である。

m位の極の留数

$$Res_{z=\alpha}\ f(z)=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z \to \alpha}\frac{d^{m-1}(z-\alpha)^m f(z)}{dz^{m-1}}$$

\(\int_{- \infty }^{ \infty }\frac{1}{(1+x^2)^2}dx\)の解法 ∫[-∞→∞](1/(1+x^2)^2)dx の解法

\((1+z^2)^2=(z-i)^2(z+i)^2\)よりz=iは2位の極である。

2位の極

よって

$$Res_{z=i}\ \frac{1}{(z^2+1)^2}=\left[ \frac{d}{dz}\left((z-i)^2\frac{1}{(z^2+1)^2} \right ) \right] _{z=i} =\left[ \frac{d}{dz}\frac{1}{(z+i)^2}\right] _{z=i}$$

$$=\left[\frac{-2(z+i)}{(z+i)^4}\right]_{z=i}=\left[\frac{-2}{(z+i)^3}\right]_{z=i}=\frac{-2}{(2i)^3}=\frac{2}{8i}=\frac{1}{4i}$$

\(\int_{- \infty }^{ \infty }\frac{1}{(1+x^2)^2}dx\)の解法 ∫[-∞→∞](1/(1+x^2)^2)dx の解法

また、\( \displaystyle \lim_{z \to \infty }z\frac{1}{(z^2+1)^2}=0\)である。以上のことから

$$ \int_{- \infty }^{ \infty }\frac{1}{(1+x^2)^2}dx=2 \pi i \left(\frac{1}{4i}\right)=\frac{\pi}{2}$$

参考文献

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